Dado o vetor w=(2,5), determinar a de modo que os vetores u=(2,-1) e v=(6, a)+2 w sejam paralelos.

Passo 1

Vamos lá! O problema nos dá o vetor w = (2, 5) e pede para encontrarmos o valor de a de maneira que os vetores u = (2, -1) e v = (6, a) + 2w sejam paralelos. A matéria envolvida aqui é vetores e condição de paralelismo. Para resolver, vamos precisar entender como somar vetores e a condição que define quando dois vetores são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor v. Temos que somar o vetor (6, a) com 2w. Sabemos que multiplicar um vetor por um escalar (neste caso, 2) significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Então,
2w = 2 times (2, 5) = (2 times 2, 2 times 5) = (4, 10)
Agora, somamos com (6, a):
v = (6, a) + (4, 10) = (6 + 4, a + 10) = (10, a + 10)

Passo 3

Agora que temos os dois vetores u = (2, -1) e v = (10, a + 10), precisamos encontrar a condição para que eles sejam paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número k tal que:
v = k times u
Isso significa que cada componente de v deve ser igual ao correspondente componente de u multiplicado por k.

Passo 4

Vamos igualar as componentes dos vetores:
Para a primeira componente:
10 = k times 2 Rightarrow k = 102 = 5
Para a segunda componente:
a + 10 = k times (-1) Rightarrow a + 10 = 5 times (-1) = -5

Passo 5

Agora, resolvemos para a:
a + 10 = -5 Rightarrow a = -5 - 10 = -15

Resposta

O valor de a que torna os vetores u e v paralelos é a = -15.

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