Se D é a região delimitada pelas retas x + y = 0, x + y = 1, 2x - y = 0 e 2x - y = 3, entâo a integral dupla sobre D da função f(x, y) = (x + y)^2 vale
a) 3/2
b) 1/5
c) 4/3
d) 1/3.
e) 1/2.
(Sugestão: Faça a mudança de variáveis u = x + y e v = 2x - y )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla da função sobre a região delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variáveis sugerida: e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e mudança de variáveis em integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, definimos as novas variáveis:
Precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 3

Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então:
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração em termos de e . Observando as retas que delimitam :
Portanto, varia de 0 a 1 e de 0 a 3.

Passo 5

A integral dupla original:
Em termos das novas variáveis, fica:
Os limites são de 0 a 1 e de 0 a 3.

Passo 6

Calculamos a integral:
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :

Resposta

A integral dupla sobre vale . Alternativa d).

Exercícios relacionados