Se f(x) = 3x^2 + 2 e g(x) = 1/(3x + 2), determine: (f(x))^{-1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções aqui: e . O que precisamos fazer é encontrar a função inversa de , que é denotada por . Basicamente, a gente vai descobrir qual é a função que “desfaz” o que a faz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função inversa. Se você aplicar uma função em um número e depois aplicar a função inversa no resultado, você volta pro número inicial. Matemáticamente, isso é descrito por:
Então, para achar a inversa de , precisamos resolver a equação para em termos de .

Passo 3

Vamos começar substituindo por :
Agora, nosso objetivo é isolar . Primeiro, subtraímos 2 de ambos os lados:

Passo 4

Em seguida, dividimos ambos os lados por 3 para continuar isolando o :
Agora, para resolver para , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Mas atenção! Quando tiramos a raiz quadrada, consideramos tanto a raiz positiva quanto a negativa:
Porém, para que a função inversa exista de fato, a função original precisa ser bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). Como é uma parábola que não é injetora em todo o seu domínio, precisamos restringir o domínio de . Vamos considerar , assim a função se torna injetora.

Passo 5

Com essa restrição, descartamos a solução negativa da raiz:
Então, a função inversa é:

Resposta

A função inversa de é:

Exercícios relacionados