Dado w(x, y)=e^y cos (x), determine: partial^3 wpartial y^2 partial x em P(pi / 4,0).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada parcial de terceira ordem partial^3 wpartial y^2 partial x da função w(x, y) = e^y cos (x) no ponto P(pi / 4, 0). Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de w em relação a x. A derivada parcial em relação a x significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x.
w(x, y) = e^y cos (x)
partial wpartial x = e^y cdot (-sin(x))
Então,
partial wpartial x = -e^y sin(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, desta vez em relação a y. Isso significa que derivamos partial wpartial x em relação a y, tratando x como constante.
partial wpartial x = -e^y sin(x)
partial^2 wpartial y partial x = -e^y sin(x)

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a terceira derivada parcial, que é a derivada de partial^2 wpartial y partial x em relação a y novamente.
partial^2 wpartial y partial x = -e^y sin(x)
partial^3 wpartial y^2 partial x = -e^y sin(x)

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar a terceira derivada parcial no ponto P(pi / 4, 0). Substituímos x = pi/4 e y = 0 na expressão.
partial^3 wpartial y^2 partial xg|P(pi / 4, 0) = -e^0 sin(pi4)
Sabemos que e^0 = 1 e sin(pi4) = raiz22, então:
-1 cdot raiz22 = -raiz22

Resposta

partial^3 wpartial y^2 partial xg|P(pi / 4, 0) = -raiz22

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