Utilize as igualdades
sen(x+y)=sen x cos y+sen y cos x e cos (x+y)=cos x cos y-sen x sen y
válidas para todos x, y in R, para mostrar as seguintes identidades trigonométricas:
(a) sen(x-y)=sen x cos y-sen y cos x
(b) cos (x-y)=cos x cos y+sen x sen y
© cos (2 x)=cos ^2 x-sen^2 x
(d) sen(2 x)=2 sen x cos x
(e) cos ^2 x=1+cos (2 x)2
(f) sen^2 x=1-cos (2 x)2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de trigonometria onde precisamos usar as fórmulas de seno e cosseno da soma de dois ângulos para provar algumas identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar dessas fórmulas básicas:
sen(x+y)=sen x cos y+sen y cos x
cos (x+y)=cos x cos y-sen x sen y
Vamos usar essas igualdades para provar cada uma das identidades pedidas nas letras (a) até (f).

Passo 2

Parte (a): sen(x + (-y)) = sen x cos (-y) + sen (-y) cos x
Primeiro, vamos lembrar que sen(x - y) = sen x cos y - sen y cos x pode ser pensado como . Então, substituímos por na fórmula do seno da soma:
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 3

Parte (b): cos(x + (-y)) = cos x cos (-y) - sen x sen (-y)
Assim como na parte (a), vamos usar cos(x - y) = cos x cos y + sen x sen y e substituir na fórmula do cosseno da soma:
Sabendo que e , temos:

Passo 4

Parte ©: cos(x + x) = cos x cos x - sen x sen x
Aqui, vamos usar a fórmula do cosseno da soma com cos(2x) = cos^2 x - sen^2 x :
Simplificando:

Passo 5

Parte (d): sen(x + x) = sen x cos x + sen x cos x
Usando a fórmula do seno da soma com sen(2x) = 2 sen x cos x :
Somando os termos iguais:

Passo 6

Parte (e): cos(2x) = 2cos^2 x - 1 (Rearranjando)
Vamos usar a identidade que encontramos na parte ©:
2cos^2 x = 1 + cos(2x)
Isolando cos^2 x = 1 + cos(2x)2 :

Passo 7

Parte (f): cos(2x) = 1 - 2sen^2 x (Rearranjando)
Também usando a identidade da parte ©:
2sen^2 x = 1 - cos(2x)
Isolando sen^2 x = 1 - cos(2x)2 :

Resposta

Prontinho! Conseguimos provar todas as identidades trigonométricas usando as fórmulas da soma de senos e cossenos.

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