Utilize as igualdades
válidas para todos
, para mostrar as seguintes identidades trigonométricas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de trigonometria onde precisamos usar as fórmulas de seno e cosseno da soma de dois ângulos para provar algumas identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar dessas fórmulas básicas:
Vamos usar essas igualdades para provar cada uma das identidades pedidas nas letras (a) até (f).
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser pensado como
. Então, substituímos
por
na fórmula do seno da soma:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 3
Parte (b):
Assim como na parte (a), vamos usar
e substituir na fórmula do cosseno da soma:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 4
Parte ©:
Aqui, vamos usar a fórmula do cosseno da soma com
:
Simplificando:
Passo 5
Parte (d):
Usando a fórmula do seno da soma com
:
Somando os termos iguais:
Passo 6
Parte (e):
Vamos usar a identidade que encontramos na parte ©:
Isolando
:
Passo 7
Parte (f):
Também usando a identidade da parte ©:
Isolando
:
Resposta
Prontinho! Conseguimos provar todas as identidades trigonométricas usando as fórmulas da soma de senos e cossenos.