Encontre a derivada da função.
y = cos(raiz(sen(tan(pi x))))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia várias vezes, já que a função tem várias camadas de composição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as camadas da função para aplicar a regra da cadeia passo a passo. Nossa função é:
Podemos ver que temos várias funções compostas:

Passo 3

Começamos derivando a função externa em relação à sua variável interna. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, derivamos em relação a . Lembre-se que , então a derivada é:

Passo 5

Seguimos para . A derivada da em relação a é :

Passo 6

Agora, derivamos . A derivada da em relação a é :

Passo 7

Finalmente, derivamos em relação a . A derivada de em relação a é simplesmente :

Passo 8

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando todas as derivadas que encontramos:
Substituindo as derivadas:

Passo 9

Agora, vamos substituir de volta as expressões para e :
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 10

Podemos simplificar um pouco essa expressão. Lembrando que , mas para manter a resposta mais clara, deixaremos a expressão final como está.

Resposta

A derivada da função é:

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