Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia várias vezes, já que a função tem várias camadas de composição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as camadas da função para aplicar a regra da cadeia passo a passo. Nossa função é:
Podemos ver que temos várias funções compostas:

Passo 3

Começamos derivando a função externa em relação à sua variável interna. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, derivamos em relação a . Lembre-se que , então a derivada é:

Passo 5

Seguimos para . A derivada da em relação a é :

Passo 6

Agora, derivamos . A derivada da em relação a é :

Passo 7

Finalmente, derivamos em relação a . A derivada de em relação a é simplesmente :

Passo 8

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando todas as derivadas que encontramos:
Substituindo as derivadas:

Passo 9

Agora, vamos substituir de volta as expressões para e :
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 10

Podemos simplificar um pouco essa expressão. Lembrando que , mas para manter a resposta mais clara, deixaremos a expressão final como está.

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule o valor dos seguintes limites:
(ν)
(ß)
(γ)
(ס)
(o)
(є)
(π)
(५)
(ρ)
(η)
(σ)
(τ)
(日)
(v)
(८)
(φ)
(к)
(χ)
(λ)
(ψ)
(μ)
(w) .
Dado , determine: em .
Encontre as equações da reta tangente e normal à curva no ponto dado.
Mostre que se e , então a aproximação linear local da função em é .