Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia várias vezes, já que a função tem várias camadas de composição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as camadas da função para aplicar a regra da cadeia passo a passo. Nossa função é:
Podemos ver que temos várias funções compostas:
Passo 3
Começamos derivando a função externa em relação à sua variável interna. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
. Lembre-se que
, então a derivada é:
Passo 5
Seguimos para
. A derivada da
em relação a
é
:
Passo 6
Agora, derivamos
. A derivada da
em relação a
é
:
Passo 7
Finalmente, derivamos
em relação a
. A derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Passo 8
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando todas as derivadas que encontramos:
Substituindo as derivadas:
Passo 9
Agora, vamos substituir de volta as expressões para
e
:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 10
Podemos simplificar um pouco essa expressão. Lembrando que
, mas para manter a resposta mais clara, deixaremos a expressão final como está.
Resposta
A derivada da função
é: