Determine as derivadas indicadas: partial zpartial x e partial zpartial y para z=x^3 ln [1+xy^3 / 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , sendo que . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são úteis quando temos funções com mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u' = ddxx^3 = 3x^2 em relação a v' = ddx ln(1 + xy^3/5) = 11 + xy^3/5 cdot ddx(xy^3/5) = 11 + xy^3/5 cdot 1y^3/5 , ou seja, v' = 1y^3/5 (1 + xy^3/5) = 1y^3/5 + x .
A função partial zpartial x = u' cdot v + u cdot v' = 3x^2 ln(1 + xy^3/5) + x^3 cdot 1y^3/5 + x é o produto de e . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Vamos chamar:
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de u = 1 + xy^3/5 em relação a ddy ln(u) = 1u cdot dudy , ou seja, dudy = ddy (1 + xy^3/5) = 0 + x cdot ddy y^-3/5 = x cdot (-35) y^-8/5 = -3x5 y^-8/5 .
Novamente, nossa função v' = 11 + xy^3/5 cdot (-3x5 y^-8/5) = -3x5 cdot y^-8/51 + xy^3/5 . A derivada em relação a v' = -3x y^-8/55 (1 + xy^3/5) = -3x5 y^8/5 (1 + xy^3/5) vai envolver a regra da cadeia.
Primeiro, identificamos a parte interna da função logarítmica:
partial zpartial y = x^3 cdot v' = x^3 cdot (-3x5 y^8/5 (1 + xy^3/5)) = -3x^45 y^8/5 (1 + xy^3/5)
A derivada de em relação a é:
Calculamos :
Então, a derivada de em relação a é:
Simplificando:
Agora, multiplicamos pela derivada de em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial x = 3x^2 ln(1 + xy^3/5) + x^3y^3/5 + x são:
partial zpartial y = -3x^45 y^8/5 (1 + xy^3/5)

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