Determine as derivadas indicadas: e para

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , sendo que . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são úteis quando temos funções com mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é o produto de e . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Vamos chamar:
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, nossa função . A derivada em relação a vai envolver a regra da cadeia.
Primeiro, identificamos a parte interna da função logarítmica:
A derivada de em relação a é:
Calculamos :
Então, a derivada de em relação a é:
Simplificando:
Agora, multiplicamos pela derivada de em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de são:

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O método da exaustão, considerado como o precursor dos métodos de cálculo, é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Arquimedes usou tal método para calcular uma aproximação de , preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. Para exemplificar esse método, faça o seguinte:
(a) Seja a área de um polígono com lados iguais inscrito em um círculo de raio . Dividindo o polígono em triângulos congruentes com ângulo central , mostre que
(b) Verifique que e interprete!
Explique o significado dos seguintes limites:
Utilize as igualdades
válidas para todos , para mostrar as seguintes identidades trigonométricas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
Dado , determine: em .