Usando o método da bisseção, obtenha o valor de ln (2). Considere xi in[0.1 ; 1.7], critério de parada |f(x)| e tolerância varepsilon <= 10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o valor de ln(2) usando o método da bisseção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de x que fazem f(x) = 0. No nosso caso, queremos encontrar x tal que ln(2) = x. Para isso, vamos precisar:
  • Entender o que é o método da bisseção.
  • Definir uma função f(x) que tenha ln(2) como raiz.
  • Escolher um intervalo onde essa raiz está localizada, que no caso é [0.1, 1.7].
  • Aplicar o critério de parada |f(x)| <= 10^-2, ou seja, queremos aproximar ln(2) até que o valor absoluto da função seja menor ou igual a 0.01.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função f(x). Sabemos que ln(2) é a solução de e^x = 2. Então, podemos escrever:
f(x) = e^x - 2
Queremos encontrar x tal que f(x) = 0. Agora, vamos verificar os sinais de f(x) nos extremos do intervalo [0.1, 1.7]:
  • Para x = 0.1:
f(0.1) = e^0.1 - 2 approx 1.1052 - 2 = -0.8948
  • Para x = 1.7:
f(1.7) = e^1.7 - 2 approx 5.4739 - 2 = 3.4739
Como f(0.1) é negativo e f(1.7) é positivo, sabemos que existe uma raiz em algum lugar entre 0.1 e 1.7.

Passo 3

Agora, aplicamos o método da bisseção. Vamos calcular o ponto médio do intervalo e avaliar f(x) nesse ponto.
  1. Primeira iteração:
    • Ponto médio: c = 0.1 + 1.72 = 0.9
    • f(0.9) = e^0.9 - 2 approx 2.4596 - 2 = 0.4596
    Como f(0.9) é positivo, a raiz está entre 0.1 e 0.9.
  2. Segunda iteração:
    • Novo intervalo: [0.1, 0.9]
    • Ponto médio: c = 0.1 + 0.92 = 0.5
    • f(0.5) = e^0.5 - 2 approx 1.6487 - 2 = -0.3513
    Como f(0.5) é negativo, a raiz está entre 0.5 e 0.9.
  3. Terceira iteração:
    • Novo intervalo: [0.5, 0.9]
    • Ponto médio: c = 0.5 + 0.92 = 0.7
    • f(0.7) = e^0.7 - 2 approx 2.0138 - 2 = 0.0138
    Agora, f(0.7) approx 0.0138, que é menor que nossa tolerância de 0.01? Não, ainda está um pouco acima.
  4. Quarta iteração:
    • Novo intervalo: [0.5, 0.7]
    • Ponto médio: c = 0.5 + 0.72 = 0.6
    • f(0.6) = e^0.6 - 2 approx 1.8221 - 2 = -0.1779
    Como f(0.6) é negativo, a raiz está entre 0.6 e 0.7.
  5. Quinta iteração:
    • Novo intervalo: [0.6, 0.7]
    • Ponto médio: c = 0.6 + 0.72 = 0.65
    • f(0.65) = e^0.65 - 2 approx 1.9155 - 2 = -0.0845
    Ainda não alcançamos a tolerância.
  6. Sexta iteração:
    • Novo intervalo: [0.65, 0.7]
    • Ponto médio: c = 0.65 + 0.72 = 0.675
    • f(0.675) = e^0.675 - 2 approx 1.9631 - 2 = -0.0369
  7. Sétima iteração:
    • Novo intervalo: [0.675, 0.7]
    • Ponto médio: c = 0.675 + 0.72 = 0.6875
    • f(0.6875) = e^0.6875 - 2 approx 1.9893 - 2 = -0.0107
  8. Oitava iteração:
    • Novo intervalo: [0.6875, 0.7]
    • Ponto médio: c = 0.6875 + 0.72 = 0.69375
    • f(0.69375) = e^0.69375 - 2 approx 2.0003 - 2 = 0.0003
Agora, |f(0.69375)| = 0.0003 <= 0.01, então paramos aqui.

Resposta

Usando o método da bisseção, o valor aproximado de ln(2) é 0.69375.

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