Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência que ajudam a gente a entender melhor o comportamento dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para entender como ela se comporta quando
fica bem grande.
Passo 3
Observando o denominador
, percebemos que, para valores grandes de
, o termo
domina sobre o
. Então, podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Então, a série se comporta de forma similar a
para grandes valores de
.
Passo 5
Agora, vamos lembrar do Teste da Série
. Esse teste diz que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série
diverge.
Passo 6
Como a nossa série original se comporta de forma semelhante a uma série divergente, podemos concluir, usando o Teste da Comparação, que a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(a)
(a)
Encontre a série de Maclaurin da função
e escreva seu termo geral. Depois use-a para calcular um valor aproximado da integral
(use os três primeiros termos da série).
Resolva as integrais abaixo (ESCOLHA 4 DAS 5 INTEGRAIS PARA RESOLVER):