Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER): sumn=2^infty n^3raizn^7-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência que ajudam a gente a entender melhor o comportamento dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: . Nosso objetivo é simplificar essa expressão para entender como ela se comporta quando fica bem grande.

Passo 3

Observando o denominador raizn^7-n approx raizn^7 = n^72 , percebemos que, para valores grandes de , o termo domina sobre o . Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
n^3raizn^7-n approx n^3n^72 = n^3 - 72 = n^-12
Então, a série se comporta de forma similar a para grandes valores de .

Passo 5

Agora, vamos lembrar do Teste da Série . Esse teste diz que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série diverge.

Passo 6

Como a nossa série original se comporta de forma semelhante a uma série divergente, podemos concluir, usando o Teste da Comparação, que a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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