Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar , que é o conjunto formado pelos vetores e no . Basicamente, queremos saber qual é o subespaço gerado por esses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e independência linear. Vamos precisar organizar esses vetores em uma matriz e fazer uma redução de linha para descobrir quais vetores realmente contribuem de forma independente para formar .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores e como colunas de uma matriz. Isso facilita a análise da combinação linear deles. A matriz fica assim:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de linha para reduzir essa matriz a uma forma mais simples, chamada forma escalonada. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas (e, portanto, quais vetores) são linearmente independentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da quarta para eliminar o 1 da segunda e o 2 da quarta:
Observamos que temos três pivôs (nas colunas 1, 2 e 3), o que indica que os vetores e são linearmente independentes. O quarto vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos outros três, já que a última linha é zero.
Resposta
Então, é um subespaço de gerado pelos vetores e . Uma base para é e a dimensão de é 3.