Dados u1=[1,1,0,2], u2=[0,-1,2,3], u3=[1,2,-3,-1] e u4=[2,3,-3,1] vefores cm R^4, determine: (1,1) a) W=[u1, u2, u3, u4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar , que é o conjunto formado pelos vetores e no . Basicamente, queremos saber qual é o subespaço gerado por esses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e independência linear. Vamos precisar organizar esses vetores em uma matriz e fazer uma redução de linha para descobrir quais vetores realmente contribuem de forma independente para formar .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores A = 1 & 0 & 1 & 2 1 & -1 & 2 & 3 0 & 2 & -3 & -3 2 & 3 & -1 & 1 e como colunas de uma matriz. Isso facilita a análise da combinação linear deles. A matriz fica assim:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para reduzir essa matriz a uma forma mais simples, chamada forma escalonada. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas (e, portanto, quais vetores) são linearmente independentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da quarta para eliminar o 1 da segunda e o 2 da quarta:
1 & 0 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & 1 0 & 2 & -3 & -3 0 & 3 & -3 & -3

Passo 4

Em seguida, vamos trabalhar com a segunda linha. Podemos multiplicá-la por -1 para facilitar:
1 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & -1 & -1 0 & 2 & -3 & -3 0 & 3 & -3 & -3
Agora, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira e 3 vezes a segunda da quarta linha:
1 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Continuando, vamos multiplicar a terceira linha por -1 para simplificar:
1 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Agora, eliminamos os termos acima do pivô na terceira coluna:
  • Subtraímos a terceira linha da primeira:
R1 = R1 - R3 1 & 0 & 0 & 1
  • Adicionamos a terceira linha na segunda:
R2 = R2 + R3 0 & 1 & 0 & 0
A matriz fica assim:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Observamos que temos três pivôs (nas colunas 1, 2 e 3), o que indica que os vetores e são linearmente independentes. O quarto vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos outros três, já que a última linha é zero.

Resposta

Então, é um subespaço de gerado pelos vetores e . Uma base para é e a dimensão de é 3.

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