Seja beta=1-2 t-2 t^2,-2+3 t-t^2, 1-t+2 t^2 subset P2. (0,8) a) Mostre que beta é base do P2.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de três polinômios beta = 1 - 2t - 2t^2, -2 + 3t - t^2, 1 - t + 2t^2 e queremos mostrar que esse conjunto é uma base para o espaço P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, precisamos verificar duas coisas: se os polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço P2. Vamos precisar usar conceitos de combinação linear, matriz e determinante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é uma base se e somente se for linearmente independente e tiver o mesmo número de elementos que a dimensão do espaço. O espaço P2 tem dimensão 3, então nosso conjunto já tem o número correto de elementos. Agora, vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, consideramos uma combinação linear igual a zero:
c1(1 - 2t - 2t^2) + c2(-2 + 3t - t^2) + c3(1 - t + 2t^2) = 0
Isso precisa ser verdade para todos os valores de t. Vamos expandir essa expressão:
c1 - 2c1t - 2c1t^2 - 2c2 + 3c2t - c2t^2 + c3 - c3t + 2c3t^2 = 0

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(c1 - 2c2 + c3) + (-2c1 + 3c2 - c3)t + (-2c1 - c2 + 2c3)t^2 = 0
Para essa igualdade ser verdadeira para todo t, os coeficientes de 1, t e t^2 devem ser iguais a zero:
c1 - 2c2 + c3 = 0 -2c1 + 3c2 - c3 = 0 -2c1 - c2 + 2c3 = 0

Passo 5

Vamos representar esse sistema como uma matriz aumentada e resolver:
1 & -2 & 1 & | & 0 -2 & 3 & -1 & | & 0 -2 & -1 & 2 & | & 0
Vamos usar a regra de Cramer para resolver esse sistema. Primeiro, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
D = 1 & -2 & 1 -2 & 3 & -1 -2 & -1 & 2
Calculando o determinante:
D = 1 cdot (3 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) - (-2) cdot (-2 cdot 2 - (-1) cdot (-2)) + 1 cdot (-2 cdot (-1) - 3 cdot (-2))
D = 1 cdot (6 - 1) - (-2) cdot (-4 - 2) + 1 cdot (2 + 6)
D = 5 - (-2) cdot (-6) + 8
D = 5 - 12 + 8 = 1
Como o determinante D neq 0, o sistema tem apenas a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 6

Como a única solução para o sistema é a trivial, isso significa que os polinômios são linearmente independentes. Além disso, como temos três polinômios e a dimensão de P2 é 3, concluímos que beta é uma base para P2.

Resposta

O conjunto beta = 1 - 2t - 2t^2, -2 + 3t - t^2, 1 - t + 2t^2 é, de fato, uma base para o espaço P2.

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