Então, a gente tem um conjunto de três polinômios e queremos mostrar que esse conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, precisamos verificar duas coisas: se os polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Vamos precisar usar conceitos de combinação linear, matriz e determinante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é uma base se e somente se for linearmente independente e tiver o mesmo número de elementos que a dimensão do espaço. O espaço tem dimensão 3, então nosso conjunto já tem o número correto de elementos. Agora, vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso precisa ser verdade para todos os valores de . Vamos expandir essa expressão:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de , e devem ser iguais a zero:
Passo 5
Vamos representar esse sistema como uma matriz aumentada e resolver:
Como o determinante D neq 0, o sistema tem apenas a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0.
Passo 6
Como a única solução para o sistema é a trivial, isso significa que os polinômios são linearmente independentes. Além disso, como temos três polinômios e a dimensão de P2 é 3, concluímos que beta é uma base para P2.
Resposta
O conjunto beta = 1 - 2t - 2t^2, -2 + 3t - t^2, 1 - t + 2t^2 é, de fato, uma base para o espaço P2.