Determine quais das seguintes funções são transformaçòes lineares:
T: M(2,2) R definida por T([llx & y z & w])=det[ccx & y z & w].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é , que pega uma matriz 2x2 e retorna o seu determinante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Onde e são matrizes no espaço e é um número real.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade: a adição vetorial. Precisamos ver se o determinante da soma de duas matrizes é igual à soma dos determinantes dessas matrizes. Ou seja, precisamos verificar se:
det(A + B) = det(A) + det(B)
No entanto, sabemos da teoria que o determinante não é uma função aditiva. Isso significa que, na maioria dos casos, a igualdade acima não se sustenta. Por exemplo, se considerarmos duas matrizes simples:
A = 1 & 0 0 & 1 , B = 1 & 0 0 & 1
Então:
det(A) = 1, det(B) = 1
Mas:
A + B = 2 & 0 0 & 2 , det(A + B) = 4
E vemos que , ou seja, .

Passo 4

Já que a primeira propriedade da transformação linear não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda propriedade (multiplicação por escalar). Isso porque, para ser uma transformação linear, ambas as propriedades precisam ser verdadeiras.

Resposta

A função que mapeia uma matriz 2x2 para o seu determinante não é uma transformação linear.

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