Determine quais das seguintes funções são transformaçòes lineares:
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é
, que pega uma matriz 2x2 e retorna o seu determinante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
entre dois espaços vetoriais satisfaz duas propriedades principais:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Onde
e
são matrizes no espaço
e
é um número real.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira propriedade: a adição vetorial. Precisamos ver se o determinante da soma de duas matrizes é igual à soma dos determinantes dessas matrizes. Ou seja, precisamos verificar se:
No entanto, sabemos da teoria que o determinante não é uma função aditiva. Isso significa que, na maioria dos casos, a igualdade acima não se sustenta. Por exemplo, se considerarmos duas matrizes simples:
Então:
Mas:
E vemos que
, ou seja,
.
Passo 4
Já que a primeira propriedade da transformação linear não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda propriedade (multiplicação por escalar). Isso porque, para ser uma transformação linear, ambas as propriedades precisam ser verdadeiras.
Resposta
A função
que mapeia uma matriz 2x2 para o seu determinante não é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Seja
.
a) Mostre que
é base do
.
Dados
e
vefores cm
, determine:
a)
Seja
.
b) Se ᄃéa base canônica do
, construa a malriz mudança de base
.
Seja
.
c) Utilize a matriz do item b) anterior para determinar
, com
.