Dados A=(4,8,11), B=(-3,1,4) e C=(2,3,-3). No triângulo A B C ache:
  • O comprimento dos três lados do triângulo
  • Os pontos médios dos três lados do triângulo
  • Os ângulos entre A B e B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . Precisamos descobrir três coisas:
  1. Comprimento dos três lados do triângulo .
  2. Pontos médios dos três lados.
  3. Ângulos entre os vetores e .
Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de geometria no espaço:
  • Fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
  • Fórmula do ponto médio entre dois pontos.
  • Produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento do lado d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 . A fórmula para a distância entre dois pontos dAB = raiz(-3 - 4)^2 + (1 - 8)^2 + (4 - 11)^2 = raiz(-7)^2 + (-7)^2 + (-7)^2 = raiz49 + 49 + 49 = raiz147 approx 12,12 e é:
Aplicando os valores de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento do lado dBC = raiz(2 - (-3))^2 + (3 - 1)^2 + (-3 - 4)^2 = raiz(5)^2 + (2)^2 + (-7)^2 = raiz25 + 4 + 49 = raiz78 approx 8,83 usando a mesma fórmula:

Passo 4

Vamos encontrar o comprimento do lado dAC = raiz(2 - 4)^2 + (3 - 8)^2 + (-3 - 11)^2 = raiz(-2)^2 + (-5)^2 + (-14)^2 = raiz4 + 25 + 196 = raiz225 = 15 :

Passo 5

Agora, vamos achar o ponto médio do lado M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . A fórmula do ponto médio entre dois pontos MAB = ( 4 + (-3)2, 8 + 12, 11 + 42 ) = ( 12, 92, 152 ) = (0,5, 4,5, 7,5) e é:
Aplicando:

Passo 6

Vamos encontrar o ponto médio do lado MBC = ( -3 + 22, 1 + 32, 4 + (-3)2 ) = ( -12, 42, 12 ) = (-0,5, 2, 0,5) :

Passo 7

E o ponto médio do lado MAC = ( 4 + 22, 8 + 32, 11 + (-3)2 ) = ( 62, 112, 82 ) = (3, 5, 4) :

Passo 8

Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) e theta = arccos( u cdot v|u| cdot |v| ) . Primeiro, precisamos encontrar esses vetores.
  • Vetor AB cdot BC = (-7)(5) + (-7)(2) + (-7)(-7) = -35 -14 + 49 = 0
  • Vetor
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o ângulo entre eles. Resolvendo para :
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Viu só? O produto escalar deu zero, o que significa que . Ou seja, os vetores são perpendiculares!

Resposta

  • Comprimentos dos lados:
  • Pontos médios:
    • Médio de AB:
    • Médio de BC:
    • Médio de AC:
  • Ângulo entre e :

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