Sejam A=(2,3,-1) e B=(1,-2,3). Encontre o ponto P situado a um terço do caminho de A até B, em linha reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois pontos no espaço: A = (2, 3, -1) e B = (1, -2, 3). A gente precisa encontrar o ponto P que está a um terço do caminho de A até B numa linha reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como dividir um segmento de reta em uma determinada proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar um ponto que divide um segmento de reta em uma certa proporção. Se tivermos dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), e queremos encontrar um ponto P que divide o segmento AB na razão m:n, a fórmula para as coordenadas de P é:
P = ( n x1 + m x2m + n, n y1 + m y2m + n, n z1 + m z2m + n )
Isso significa que cada coordenada de P é a média ponderada das coordenadas de A e B, onde os pesos são as partes da razão.

Passo 3

No nosso caso, queremos que P esteja a um terço do caminho de A até B. Isso significa que a razão m:n é 1:2, já que P está 1 parte para A e 2 partes para B.
Vamos identificar os valores:
  • x1 = 2, y1 = 3, z1 = -1
  • x2 = 1, y2 = -2, z2 = 3
  • m = 1, n = 2
Agora, aplicando a fórmula:
Px = 2 cdot 2 + 1 cdot 11 + 2 = 4 + 13 = 53
Py = 2 cdot 3 + 1 cdot (-2)1 + 2 = 6 - 23 = 43
Pz = 2 cdot (-1) + 1 cdot 31 + 2 = -2 + 33 = 13

Resposta

O ponto P que está a um terço do caminho de A até B é:
P = ( 53, 43, 13 )

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