Determine os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor da elipse. 2 x^2+y^2=50

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação . Para achar os vértices, os focos e os tamanhos dos eixos maior e menor, vamos usar a fórmula padrão da elipse e alguns conceitos básicos de geometria. Vamos precisar reorganizar a equação e identificar os parâmetros principais da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse é 2x^250 + y^250 = 1 Rightarrow x^225 + y^250 = 1 . Para isso, vamos dividir todos os termos da nossa equação original por 50:

Passo 3

Agora que temos a forma padrão, podemos identificar os valores de e . Comparando com , vemos que e . Então, e .

Passo 4

Os vértices da elipse são os pontos mais afastados do centro ao longo dos eixos. Como (0, pm b) = (0, pm 5raiz2) , o eixo maior está no eixo y. Então, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula c^2 = 50 - 25 = 25 Rightarrow c = raiz25 = 5 . Calculando:
(0, pm c) = (0, pm 5)
Então, os focos estão nos pontos:

Passo 6

Por último, vamos determinar as medidas dos eixos maior e menor. O comprimento do eixo maior é Eixo maior = 2b = 2 times 5raiz2 = 10raiz2 e o do eixo menor é Eixo menor = 2a = 2 times 5 = 10 :

Resposta

Os vértices da elipse são , os focos são , o comprimento do eixo maior é e o comprimento do eixo menor é .

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