Determine os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação
. Para achar os vértices, os focos e os tamanhos dos eixos maior e menor, vamos usar a fórmula padrão da elipse e alguns conceitos básicos de geometria. Vamos precisar reorganizar a equação e identificar os parâmetros principais da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse é
. Para isso, vamos dividir todos os termos da nossa equação original por 50:
Passo 3
Agora que temos a forma padrão, podemos identificar os valores de
e
. Comparando com
, vemos que
e
. Então,
e
.
Passo 4
Os vértices da elipse são os pontos mais afastados do centro ao longo dos eixos. Como
, o eixo maior está no eixo y. Então, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
. Calculando:
Então, os focos estão nos pontos:
Passo 6
Por último, vamos determinar as medidas dos eixos maior e menor. O comprimento do eixo maior é
e o do eixo menor é
:
Resposta
Os vértices da elipse são
, os focos são
, o comprimento do eixo maior é
e o comprimento do eixo menor é
.