Dados abaixo os subespaços W1, W2 subset R^4 (espaço vetorial), obtenha (justificando) bases de W1 e W2, a dimensão de W1 cap W2 e a dimensão de W1+W2. Responda (justifique) ainda se a soma W1+W2 é direta e se W1+W2=R^4
& W1=(x+y, 0, y+x, z+3 y+3 x) in R^4 ; x, y, z in R & W2=(a, b, c, d) in R^4 ; d=a-2 c e c=a+b

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços e dentro de . Precisamos encontrar:
  1. Bases de e .
  2. A dimensão da interseção .
  3. A dimensão da soma .
  4. Verificar se a soma é direta.
  5. Checar se é igual a todo o espaço .
Vamos precisar usar conceitos de combinação linear, bases de subespaços e propriedades de dimensões em espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar encontrando uma base para W1 = (x+y, 0, y+x, z+3y+3x) in R^4 ; x, y, z in R . O subespaço (x+y, 0, x+y, z+3x+3y) = x(1, 0, 1, 3) + y(1, 0, 1, 3) + z(0, 0, 0, 1) é definido por:
Base de W1 = , (1, 0, 1, 3),; (0, 0, 0, 1) ,
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito em termos de , e . Vamos expressar esse vetor como uma combinação linear desses parâmetros:
Perceba que os vetores aparecem duas vezes, o que indica que não são independentes. Então, podemos simplificar a base removendo a redundância:

Passo 3

Agora, vamos achar uma base para W2 = (a, b, c, d) in R^4 ; d = a - 2c e c = a + b . O subespaço d = a - 2(a + b) = -a - 2b é definido por:
(a, b, a+b, -a-2b) = a(1, 0, 1, -1) + b(0, 1, 1, -2)
Substituindo Base de W2 = , (1, 0, 1, -1),; (0, 1, 1, -2) , em :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é:

Passo 4

Vamos encontrar a interseção v = x(1, 0, 1, 3) + z(0, 0, 0, 1) = (x+y, 0, x+y, z+3x+3y) , ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços. Seja um vetor v = a(1, 0, 1, -1) + b(0, 1, 1, -2) = (a, b, a+b, -a-2b) pertencente a x + y = a 0 = b x + y = a + b z + 3x + 3y = -a - 2b :
x + y = a x + y = a z + 3a = -a
E como v = a(1, 0, 1, -1) também está em Base de W1 cap W2 = , (1, 0, 1, -1) , :
Igualando as componentes:
Da segunda equação, . Substituindo nas demais:
Da última equação, .
Portanto, qualquer vetor na interseção pode ser escrito como:
Logo, uma base para é:
E a dimensão dessa interseção é 1.

Passo 5

Para encontrar a dimensão da soma dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2) , usamos a fórmula:
dim W1 = 2, dim W2 = 2, dim(W1 cap W2) = 1
Sabemos que:
dim(W1 + W2) = 2 + 2 - 1 = 3
Então:
Portanto, a dimensão da soma é 3.

Passo 6

Vamos verificar se a soma é direta. A soma é direta se e somente se a interseção for apenas o vetor nulo. No nosso caso, , o que significa que existem vetores não nulos na interseção. Portanto, a soma não é direta.
Para checar se , observamos a dimensão de , que é 3. Como tem dimensão 4, a soma não cobre todo o espaço .

Resposta

As bases dos subespaços são:
Base de W1 = , (1, 0, 1, 3),; (0, 0, 0, 1) ,
Base de W2 = , (1, 0, 1, -1),; (0, 1, 1, -2) ,
A dimensão de é 1 e a dimensão de é 3. Além disso, a soma não é direta e não coincide com todo o espaço .

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