Dados abaixo os subespaços (espaço vetorial), obtenha (justificando) bases de e , a dimensão de e a dimensão de . Responda (justifique) ainda se a soma é direta e se

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços e dentro de . Precisamos encontrar:
  1. Bases de e .
  2. A dimensão da interseção .
  3. A dimensão da soma .
  4. Verificar se a soma é direta.
  5. Checar se é igual a todo o espaço .
Vamos precisar usar conceitos de combinação linear, bases de subespaços e propriedades de dimensões em espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar encontrando uma base para . O subespaço é definido por:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito em termos de , e . Vamos expressar esse vetor como uma combinação linear desses parâmetros:
Perceba que os vetores aparecem duas vezes, o que indica que não são independentes. Então, podemos simplificar a base removendo a redundância:

Passo 3

Agora, vamos achar uma base para . O subespaço é definido por:
Substituindo em :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é:

Passo 4

Vamos encontrar a interseção , ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços. Seja um vetor pertencente a :
E como também está em :
Igualando as componentes:
Da segunda equação, . Substituindo nas demais:
Da última equação, .
Portanto, qualquer vetor na interseção pode ser escrito como:
Logo, uma base para é:
E a dimensão dessa interseção é 1.

Passo 5

Para encontrar a dimensão da soma , usamos a fórmula:
Sabemos que:
Então:
Portanto, a dimensão da soma é 3.

Passo 6

Vamos verificar se a soma é direta. A soma é direta se e somente se a interseção for apenas o vetor nulo. No nosso caso, , o que significa que existem vetores não nulos na interseção. Portanto, a soma não é direta.
Para checar se , observamos a dimensão de , que é 3. Como tem dimensão 4, a soma não cobre todo o espaço .

Resposta

As bases dos subespaços são:
A dimensão de é 1 e a dimensão de é 3. Além disso, a soma não é direta e não coincide com todo o espaço .

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