Dados a=(2,1,-3) e b=(1,-2,1), determinar o vetor v perp a, v perp b e|| v||=5.
RESP: v= pm 5 raiz33(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor v que seja perpendicular tanto ao vetor a = (2,1,-3) quanto ao vetor b = (1,-2,1), e que tenha comprimento (norma) igual a 5. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembro que quando queremos encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, podemos usar o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de a e b, escrito como a times b, nos dá um vetor que é perpendicular aos dois.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial a times b. Usando a fórmula do determinante:
a times b = i & j & k 2 & 1 & -3 1 & -2 & 1
Calculando:
a times b = i(1 cdot 1 - (-3) cdot (-2)) - j(2 cdot 1 - (-3) cdot 1) + k(2 cdot (-2) - 1 cdot 1)
= i(1 - 6) - j(2 + 3) + k(-4 - 1)
= -5i - 5j - 5k
Então, a times b = (-5, -5, -5).

Passo 4

Agora, esse vetor a times b = (-5, -5, -5) é perpendicular aos dois vetores originais, mas precisamos que o vetor v tenha comprimento 5. Para isso, vamos normalizar o vetor que encontramos e depois multiplicar pelo comprimento desejado.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a direção do vetor a times b. Podemos simplificar dividindo cada componente por -5:
u = ( -5-5, -5-5, -5-5 ) = (1,1,1)
Então, a direção de v é (1,1,1).

Passo 6

Agora, precisamos ajustar o comprimento desse vetor para que seja igual a 5. A norma de u = (1,1,1) é:
||u|| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Para ter uma norma de 5, multiplicamos o vetor unitário pela razão 5raiz3:
v = pm 5raiz3(1,1,1) = pm 5raiz33(1,1,1)

Resposta

v= pm 5 raiz33(1,1,1)

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