Obtenha a equação do plano que contém a reta r: x-12=y+2-3=z-22 e é perpendicular ao plano alpha: 3 x+2 y-z-5=0.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que contém uma reta específica e que é perpendicular a outro plano dado. Os conteúdos que vamos usar aqui são geometria analítica, especificamente o estudo de retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores diretores da reta e do plano, além de aplicar conceitos de perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta dr = 2 -3 2 . Essa forma é chamada de forma paramétrica da reta. Os coeficientes de , e nos fornecem o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o plano A B C . A equação geral de um plano é nalpha = 3 2 -1 , onde é o vetor normal ao plano. Portanto, o vetor normal do plano é:

Passo 4

Queremos que o novo plano seja perpendicular ao plano . Dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares. Isso significa que o vetor normal do novo plano deve ser paralelo ao vetor diretor do plano , ou seja, ao vetor .

Passo 5

Além disso, o novo plano deve conter a reta n cdot dr = 0 . Isso implica que o vetor diretor da reta está no plano, ou seja, é perpendicular ao vetor normal do plano . Assim, temos que:
Substituindo por , porque são paralelos, vamos ajustar a relação para encontrar .

Passo 6

Como k cdot nalpha cdot dr = 0 é paralelo a k cdot (3 cdot 2 + 2 cdot (-3) + (-1) cdot 2) = 0 , podemos escrever k cdot (6 - 6 - 2) = 0 , onde k cdot (-2) = 0 é um escalar. Substituindo na condição de perpendicularidade:
n = 3 2 -1
Isso implica que pode ser qualquer valor, mas para simplificar, podemos escolher . Portanto, o vetor normal do novo plano é:

Passo 7

Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um ponto que pertença a ele. A reta está no plano, então qualquer ponto da reta serve. Vamos usar o ponto , que é o ponto dado na equação da reta.

Passo 8

A equação geral de um plano é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde A B C é o ponto 3(x - 1) + 2(y + 2) - 1(z - 2) = 0 e .
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano procurado é:
3(x - 1) + 2(y + 2) - (z - 2) = 0
Ou, simplificando:
3x + 2y - z + 5 = 0

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