Obtenha a equação do plano que contém a reta e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que contém uma reta específica e que é perpendicular a outro plano dado. Os conteúdos que vamos usar aqui são geometria analítica, especificamente o estudo de retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores diretores da reta e do plano, além de aplicar conceitos de perpendicularidade entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta . Essa forma é chamada de forma paramétrica da reta. Os coeficientes de , e nos fornecem o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Agora, vamos considerar o plano A B C . A equação geral de um plano é nalpha = 3 2 -1 , onde é o vetor normal ao plano. Portanto, o vetor normal do plano é:
Passo 4
Queremos que o novo plano seja perpendicular ao plano . Dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares. Isso significa que o vetor normal do novo plano deve ser paralelo ao vetor diretor do plano , ou seja, ao vetor .
Passo 5
Além disso, o novo plano deve conter a reta n cdot dr = 0 . Isso implica que o vetor diretor da reta está no plano, ou seja, é perpendicular ao vetor normal do plano . Assim, temos que:
Substituindo por , porque são paralelos, vamos ajustar a relação para encontrar .
Passo 6
Como k cdot nalpha cdot dr = 0 é paralelo a k cdot (3 cdot 2 + 2 cdot (-3) + (-1) cdot 2) = 0 , podemos escrever k cdot (6 - 6 - 2) = 0 , onde k cdot (-2) = 0 é um escalar. Substituindo na condição de perpendicularidade:
n = 3 2 -1
Isso implica que pode ser qualquer valor, mas para simplificar, podemos escolher . Portanto, o vetor normal do novo plano é:
Passo 7
Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um ponto que pertença a ele. A reta está no plano, então qualquer ponto da reta serve. Vamos usar o ponto , que é o ponto dado na equação da reta.
Passo 8
A equação geral de um plano é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde A B C é o ponto 3(x - 1) + 2(y + 2) - 1(z - 2) = 0 e .