Um vetor unitário
forma com o eixo coordenado OX um ângulo de
com os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor unitário
que forma um ângulo de
com o eixo X (OX) e forma ângulos iguais com os eixos Y (OY) e Z (OZ). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e a fórmula do cosseno para ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, como
é um vetor unitário, sabemos que o seu magnitude é 1. Ou seja:
Passo 3
Vamos representar o vetor
em termos de suas componentes nas direções dos eixos X, Y e Z. Então, podemos escrever:
Passo 4
Sabemos que o ângulo entre
e o eixo X é de
. A relação entre o ângulo
e as componentes do vetor unitário é dada pelo cosseno do ângulo:
Como
e
:
Passo 5
Agora, como os ângulos que
forma com Y e Z são iguais, vamos chamar esses ângulos de
. Portanto:
Passo 6
Como
é um vetor unitário, temos que a soma dos quadrados das componentes é igual a 1:
Substituindo
e
, temos:
Então:
E como
:
Passo 7
Portanto, as coordenadas do vetor
são:
Resposta
As coordenadas de
são: