Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 60^circ e com os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v.
RESP: v=(12, raiz64, raiz64) ou (12,-raiz64,-raiz64)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor unitário v que forma um ângulo de 60^circ com o eixo X (OX) e forma ângulos iguais com os eixos Y (OY) e Z (OZ). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor v. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e a fórmula do cosseno para ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, como v é um vetor unitário, sabemos que o seu magnitude é 1. Ou seja:
|v| = 1

Passo 3

Vamos representar o vetor v em termos de suas componentes nas direções dos eixos X, Y e Z. Então, podemos escrever:
v = (vx, vy, vz)

Passo 4

Sabemos que o ângulo entre v e o eixo X é de 60^circ. A relação entre o ângulo theta e as componentes do vetor unitário é dada pelo cosseno do ângulo:
costheta = vx|v|
Como |v| = 1 e theta = 60^circ:
cos60^circ = vx Rightarrow 12 = vx Rightarrow vx = 12

Passo 5

Agora, como os ângulos que v forma com Y e Z são iguais, vamos chamar esses ângulos de alpha. Portanto:
cosalpha = vy = vz

Passo 6

Como v é um vetor unitário, temos que a soma dos quadrados das componentes é igual a 1:
vx^2 + vy^2 + vz^2 = 1
Substituindo vx = 12 e vy = vz, temos:
(12)^2 + 2vy^2 = 1 Rightarrow 14 + 2vy^2 = 1 Rightarrow 2vy^2 = 34 Rightarrow vy^2 = 38
Então:
vy = pm raiz64
E como vz = vy:
vz = pm raiz64

Passo 7

Portanto, as coordenadas do vetor v são:
v = (12, raiz64, raiz64) ou (12, -raiz64, -raiz64)

Resposta

As coordenadas de v são:
v = (12, raiz64, raiz64) ou (12, -raiz64, -raiz64)

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