Dados a=(2,-3,6) e b=(-1,2,-2), encontre c paralelo à bissetriz do ângulo entre a e b, sabendo que |c|=3 raiz42. (Sugestão: Use o prob. 7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores, a = (2, -3, 6) e b = (-1, 2, -2), e pede para encontrarmos um vetor c que seja paralelo à bissetriz do ângulo entre a e b, com norma igual a 3raiz42. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente como encontrar a bissetriz de dois vetores e ajustar a magnitude do vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz do ângulo entre dois vetores. A bissetriz é um vetor que divide o ângulo entre a e b em duas partes iguais. Para encontrar essa bissetriz, precisamos somar os vetores normalizados de a e b.

Passo 3

Vamos começar normalizando os vetores a e b. A normalização de um vetor transforma ele em um vetor unitário, ou seja, com norma igual a 1. A fórmula para normalizar um vetor v é:
v = v|v|
Primeiro, calculamos a norma de a:
|a| = raiz2^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7
Então, o vetor unitário de a é:
a = a7 = ( 27, -37, 67 )

Passo 4

Agora, calculamos a norma de b:
|b| = raiz(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
E o vetor unitário de b é:
b = b3 = ( -13, 23, -23 )

Passo 5

A bissetriz do ângulo entre a e b é dada pela soma dos vetores normalizados:
d = a + b = ( 27 + -13, -37 + 23, 67 + -23 )
Vamos calcular cada componente:
Para a primeira componente:
27 + -13 = 6 - 721 = -121
Para a segunda componente:
-37 + 23 = -9 + 1421 = 521
Para a terceira componente:
67 + -23 = 18 - 1421 = 421
Então,
d = ( -121, 521, 421 )

Passo 6

Agora, vamos encontrar a norma do vetor d para poder normalizá-lo e depois escalá-lo para ter a magnitude desejada, que é 3raiz42.
Calculamos a norma de d:
|d| = raiz( -121 )^2 + ( 521 )^2 + ( 421 )^2 = raiz1441 + 25441 + 16441 = raiz42441 = raiz221 = raiz4221

Passo 7

Para obter o vetor da bissetriz com a norma desejada, multiplicamos o vetor d pela razão entre a norma desejada e a norma atual de d:
c = d times ( 3raiz42raiz4221 ) = d times 63 = ( -121 times 63, 521 times 63, 421 times 63 ) = (-3, 15, 12)

Resposta

O vetor c paralelo à bissetriz do ângulo entre a e b, com norma igual a 3raiz42, é:
c = (-3, 15, 12)

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