Dados e , encontre paralelo à bissetriz do ângulo entre e , sabendo que . (Sugestão: Use o prob. 7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores, e , e pede para encontrarmos um vetor que seja paralelo à bissetriz do ângulo entre e , com norma igual a . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente como encontrar a bissetriz de dois vetores e ajustar a magnitude do vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz do ângulo entre dois vetores. A bissetriz é um vetor que divide o ângulo entre e em duas partes iguais. Para encontrar essa bissetriz, precisamos somar os vetores normalizados de e .

Passo 3

Vamos começar normalizando os vetores e . A normalização de um vetor transforma ele em um vetor unitário, ou seja, com norma igual a 1. A fórmula para normalizar um vetor é:
Primeiro, calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário de é:

Passo 4

Agora, calculamos a norma de :
E o vetor unitário de é:

Passo 5

A bissetriz do ângulo entre e é dada pela soma dos vetores normalizados:
Vamos calcular cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar a norma do vetor para poder normalizá-lo e depois escalá-lo para ter a magnitude desejada, que é .
Calculamos a norma de :

Passo 7

Para obter o vetor da bissetriz com a norma desejada, multiplicamos o vetor pela razão entre a norma desejada e a norma atual de :

Resposta

O vetor paralelo à bissetriz do ângulo entre e , com norma igual a , é:

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(2,0 pts) Seja
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