Encontre a forma bilinear
tal que
, onde
é a base:
;
Passo 1
Então, vamos lá! Você pediu para encontrar uma forma bilinear
que tem a matriz
em relação à base
. Basicamente, precisamos encontrar como essa forma bilinear se comporta no espaço padrão, usando as informações da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma bilinear. É uma função que pega dois vetores e retorna um número real, respeitando a linearidade em cada argumento. A matriz associada a essa forma depende da base escolhida. Aqui, a matriz
está dada na base
, e queremos expressar
na base padrão.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a matriz de mudança de base. Como temos a base
com
e
, a matriz de mudança de base
é formada por esses vetores como colunas:
Passo 4
Agora, para encontrar a matriz da forma bilinear na base padrão, usamos a fórmula:
Onde
é a transposta de
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, multiplicamos
pela matriz
:
Passo 7
Agora, multiplicamos o resultado por
:
Passo 8
Agora que temos a matriz
, podemos escrever a forma bilinear
em termos dos vetores padrão
e
:
Resposta
A forma bilinear procurada é: