Encontre a forma bilinear B: R^2 times R^2 R tal que [B]alpha^alpha=[cc1 & -2 2 & 3], onde alpha subset R^2 é a base:
alpha=(1,-1),(0,2);

Passo 1

Então, vamos lá! Você pediu para encontrar uma forma bilinear 1 & -2 2 & 3 que tem a matriz em relação à base . Basicamente, precisamos encontrar como essa forma bilinear se comporta no espaço padrão, usando as informações da base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma bilinear. É uma função que pega dois vetores e retorna um número real, respeitando a linearidade em cada argumento. A matriz associada a essa forma depende da base escolhida. Aqui, a matriz está dada na base , e queremos expressar na base padrão.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a matriz de mudança de base. Como temos a base P = 1 & 0 -1 & 2 com e , a matriz de mudança de base é formada por esses vetores como colunas:

Passo 4

Agora, para encontrar a matriz da forma bilinear na base padrão, usamos a fórmula:
[B]padrão = P^T [B]alpha^alpha P ã
Onde é a transposta de .

Passo 5

Vamos calcular P^T = 1 & -1 0 & 2 :

Passo 6

Agora, multiplicamos P^T [B]alpha^alpha = 1 & -1 0 & 2 1 & -2 2 & 3 = 1*1 + (-1)*2 & 1*(-2) + (-1)*3 0*1 + 2*2 & 0*(-2) + 2*3 = -1 & -5 4 & 6 pela matriz :

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado por [B]padrão = -1 & -5 4 & 6 1 & 0 -1 & 2 = (-1)*1 + (-5)*(-1) & (-1)*0 + (-5)*2 4*1 + 6*(-1) & 4*0 + 6*2 = 4 & -10 -2 & 12 :
ã

Passo 8

Agora que temos a matriz 4 & -10 -2 & 12ã, podemos escrever a forma bilinear B(x, y) = 4x1 y1 - 10x1 y2 - 2x2 y1 + 12x2 y2 em termos dos vetores padrão e :

Resposta

A forma bilinear procurada é:
B(x, y) = 4x1y1 - 10x1y2 - 2x2y1 + 12x2y2

Exercícios relacionados