(2,0 pts) Seja W=(x, y, z) in R^3 ; 2 x-z=0
© Estenda a base beta de W para obter uma base alpha de V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um subespaço de definido pela equação . Nosso objetivo aqui é estender uma base desse subespaço para obter uma base do espaço todo . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, bases e como estender uma base de um subespaço para o espaço maior.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma base (x, y, z) = (x, y, 2x) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 0) para o subespaço beta = 1 0 2 , 0 1 0 . Sabemos que é definido por , o que significa que . Podemos expressar os vetores de em termos de e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, uma base para é:

Passo 3

Agora, para estender essa base para uma base de , precisamos adicionar mais um vetor que não esteja em e que, juntamente com os vetores de , forme uma base para o espaço todo. Basicamente, estamos procurando um vetor que complete a base, garantindo que os três vetores sejam linearmente independentes.

Passo 4

Vamos escolher um vetor que não satisfaz a equação a 1 0 2 + b 0 1 0 + c 0 0 1 = 0 0 0 . Por exemplo, podemos escolher o vetor a = 0 b = 0 2a + c = 0 . Vamos verificar se este vetor, junto com os vetores de , são linearmente independentes.
Assumindo uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Substituindo na terceira equação, temos . Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, uma base alpha = 1 0 2 , 0 1 0 , 0 0 1 de que estende a base de é:

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