Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma forma bilinear sabendo que a matriz representativa dessa forma bilinear na base padrão é:
Então, vamos precisar entender o que é uma forma bilinear, como ela se relaciona com matrizes e como usar a base padrão para expressar essa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, de forma que seja linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que:
para quaisquer vetores e escalares .

Passo 3

Agora, como associamos uma forma bilinear a uma matriz? Basicamente, se temos uma forma bilinear e uma base , a matriz contém os coeficientes que multiplicam os componentes dos vetores na base para calcular .
No caso da base padrão , os vetores e são facilmente representados por seus componentes.

Passo 4

A forma bilinear pode ser expressa em termos dos componentes dos vetores e dos elementos da matriz . Especificamente:
Onde é o vetor transposto de .

Passo 5

Vamos aplicar isso com os valores fornecidos. Seja e , então:

Passo 6

Multiplicando a matriz pelo vetor :

Passo 7

Agora, multiplicamos o vetor transposto pelo resultado acima:

Passo 8

Vamos distribuir os termos:

Resposta

A forma bilinear procurada é:

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Dados e , encontre paralelo à bissetriz do ângulo entre e , sabendo que . (Sugestão: Use o prob. 7).
Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
;
(2,0 pts) Seja
© Estenda a base de para obter uma base de .
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