Encontre a forma bilinear B: R^2 times R^2 R tal que [B]alpha^alpha=[cc1 & -2 2 & 3], onde alpha subset R^2 é a base:
alpha=(1,0),(0,1) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma forma bilinear [B]alpha^alpha = 1 & -2 2 & 3 sabendo que a matriz representativa dessa forma bilinear na base padrão é:
Então, vamos precisar entender o que é uma forma bilinear, como ela se relaciona com matrizes e como usar a base padrão para expressar essa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear B(av + bw, x) = aB(v, x) + bB(w, x) é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, de forma que seja linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que:
B(x, av + bw) = aB(x, v) + bB(x, w)
para quaisquer vetores e escalares .

Passo 3

Agora, como associamos uma forma bilinear a uma matriz? Basicamente, se temos uma forma bilinear e uma base , a matriz contém os coeficientes que multiplicam os componentes dos vetores na base para calcular .
No caso da base padrão , os vetores e são facilmente representados por seus componentes.

Passo 4

A forma bilinear pode ser expressa em termos dos componentes dos vetores e dos elementos da matriz B(u, v) = u^T [B]alpha^alpha v . Especificamente:
Onde é o vetor transposto de .

Passo 5

Vamos aplicar isso com os valores fornecidos. Seja B(u, v) = u1 & u2 1 & -2 2 & 3 v1 v2 e , então:

Passo 6

Multiplicando a matriz pelo vetor 1 & -2 2 & 3 v1 v2 = 1 cdot v1 + (-2) cdot v2 2 cdot v1 + 3 cdot v2 = v1 - 2v2 2v1 + 3v2 :

Passo 7

Agora, multiplicamos o vetor u1 & u2 v1 - 2v2 2v1 + 3v2 = u1(v1 - 2v2) + u2(2v1 + 3v2) transposto pelo resultado acima:

Passo 8

Vamos distribuir os termos:
B(u, v) = u1v1 - 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2

Resposta

A forma bilinear procurada é:
B( (u1, u2), (v1, v2) ) = u1 v1 - 2 u1 v2 + 2 u2 v1 + 3 u2 v2

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