Encontre a forma bilinear
tal que
, onde
é a base:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma forma bilinear
sabendo que a matriz representativa dessa forma bilinear na base padrão
é:
Então, vamos precisar entender o que é uma forma bilinear, como ela se relaciona com matrizes e como usar a base padrão para expressar essa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear
é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, de forma que seja linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que:
para quaisquer vetores
e escalares
.
Passo 3
Agora, como associamos uma forma bilinear a uma matriz? Basicamente, se temos uma forma bilinear
e uma base
, a matriz
contém os coeficientes que multiplicam os componentes dos vetores na base
para calcular
.
No caso da base padrão
, os vetores
e
são facilmente representados por seus componentes.
Passo 4
A forma bilinear pode ser expressa em termos dos componentes dos vetores e dos elementos da matriz
. Especificamente:
Onde
é o vetor transposto de
.
Passo 5
Vamos aplicar isso com os valores fornecidos. Seja
e
, então:
Passo 6
Multiplicando a matriz pelo vetor
:
Passo 7
Agora, multiplicamos o vetor
transposto pelo resultado acima:
Passo 8
Vamos distribuir os termos:
Resposta
A forma bilinear procurada é:
Exercícios relacionados
Dados
e
, encontre
paralelo à bissetriz do ângulo entre
e
, sabendo que
. (Sugestão: Use o prob. 7).
Encontre a forma bilinear
tal que
, onde
é a base:
;
(2,0 pts) Seja
© Estenda a base de
para obter uma base
de
.
© Estenda a base
Encontre a forma bilinear
tal que
, onde
é a base: