Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2+y^2=9, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
do ponto (-32, 3 raiz32) ao ponto (3 raiz32, -32).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move numa circunferência dada por . Isso significa que o raio da circunferência é 3 (já que ). A partícula vai se mover no sentido anti-horário, começando no ponto e indo até . Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas de um círculo e entender como parametrizar o movimento no sentido anti-horário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas de uma circunferência com raio x = r cos(t) e centro na origem são:
y = r sin(t)
x = 3 cos(t)
Aqui, y = 3 sin(t) é o parâmetro que representa o ângulo, geralmente em radianos. Como nosso raio é 3, ajustamos para:
Essas são as equações básicas. Agora, precisamos determinar o intervalo de que corresponde ao movimento do ponto inicial ao final, no sentido anti-horário.

Passo 3

Vamos identificar os ângulos correspondentes aos pontos inicial e final.
Para o ponto cos(t1) = -3/23 = -12 :
sin(t1) = 3raiz3/23 = raiz32
cos(t2) = 3raiz3/23 = raiz32
Isso nos dá sin(t2) = -3/23 = -12 radianos.
Para o ponto :
Isso nos dá radianos.

Passo 4

Como a partícula se move no sentido anti-horário, precisamos garantir que t1 = 2pi3 approx 2.094 rad aumente de t2 = 5pi6 approx 2.618 rad a . Observando os valores:
Vemos que , então o intervalo de será de a .

Passo 5

Agora, com tudo definido, podemos escrever as equações paramétricas da trajetória:
x(t) = 3 cos(t)
y(t) = 3 sin(t)
Onde varia de a . Isso descreve a posição da partícula em cada instante conforme ela se move na circunferência no sentido anti-horário.

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
x(t) = 3 cos(t)
y(t) = 3 sin(t)
com o parâmetro variando de a .

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