Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
do ponto
ao ponto
.
do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move numa circunferência dada por
. Isso significa que o raio da circunferência é 3 (já que
). A partícula vai se mover no sentido anti-horário, começando no ponto
e indo até
. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas de um círculo e entender como parametrizar o movimento no sentido anti-horário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas de uma circunferência com raio
e centro na origem são:
Aqui,
é o parâmetro que representa o ângulo, geralmente em radianos. Como nosso raio é 3, ajustamos para:
Essas são as equações básicas. Agora, precisamos determinar o intervalo de
que corresponde ao movimento do ponto inicial ao final, no sentido anti-horário.
Passo 3
Vamos identificar os ângulos correspondentes aos pontos inicial e final.
Para o ponto
:
Isso nos dá
radianos.
Para o ponto
:
Isso nos dá
radianos.
Passo 4
Como a partícula se move no sentido anti-horário, precisamos garantir que
aumente de
a
. Observando os valores:
Vemos que
, então o intervalo de
será de
a
.
Passo 5
Agora, com tudo definido, podemos escrever as equações paramétricas da trajetória:
Onde
varia de
a
. Isso descreve a posição da partícula em cada instante conforme ela se move na circunferência no sentido anti-horário.
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
com o parâmetro
variando de
a
.