Demonstre, no corpo dos reais, as seguintes desigualdades:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar a desigualdade:
Estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos no conjunto dos números reais. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas dos valores absolutos e a desigualdade triangular, que é super útil nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a expressão dentro do valor absoluto do lado esquerdo:
Podemos reescrever essa expressão de uma forma que facilite a aplicação da desigualdade triangular. Observe que:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos o valor absoluto nessa expressão:
Aqui, usamos a propriedade distributiva para separar os termos envolvendo
e
.
Passo 4
A próxima etapa é aplicar a desigualdade triangular, que nos diz que para quaisquer números reais
e
:
Aplicando isso à nossa expressão, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo do lado direito:
Isso porque a propriedade de distribuição do valor absoluto sobre a multiplicação nos permite separar os fatores.
Passo 6
Substituindo de volta na desigualdade, temos:
Isso demonstra exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Portanto, mostramos que: