Demonstre, no corpo dos reais, as seguintes desigualdades:
|x y - a b| <= |x| |y - b| + |b| |x - a|

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar a desigualdade:
Estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos no conjunto dos números reais. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas dos valores absolutos e a desigualdade triangular, que é super útil nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a expressão dentro do valor absoluto do lado esquerdo:
Podemos reescrever essa expressão de uma forma que facilite a aplicação da desigualdade triangular. Observe que:
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos o valor absoluto nessa expressão:
Aqui, usamos a propriedade distributiva para separar os termos envolvendo e .

Passo 4

A próxima etapa é aplicar a desigualdade triangular, que nos diz que para quaisquer números reais e :
Aplicando isso à nossa expressão, temos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo do lado direito:
Isso porque a propriedade de distribuição do valor absoluto sobre a multiplicação nos permite separar os fatores.

Passo 6

Substituindo de volta na desigualdade, temos:
Isso demonstra exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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