Demonstre, no corpo dos reais, as seguintes desigualdades:
, se
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos demonstrar que, para quaisquer números reais
e
, a desigualdade
é válida, desde que
. Vamos usar propriedades de valores absolutos e manipulação algébrica para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
. Podemos adicionar e subtrair
dentro do valor absoluto para facilitar a manipulação:
Isso nos permite separar a expressão em duas partes.
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade do triângulo para valores absolutos, que diz que
. Assim, temos:
Simplificando cada termo, obtemos:
e
Passo 4
Substituindo essas simplificações na desigualdade anterior, temos:
Sabemos que
pelo enunciado. Também podemos notar que
aplicando novamente a propriedade do tri��ngulo.
Passo 5
Substituindo
na desigualdade, obtemos:
Como
, podemos substituir na expressão:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos que contêm
:
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Portanto, demonstramos que
sempre que
.