Demonstre, no corpo dos reais, as seguintes desigualdades:
|x y - a b| < (1 + |a|) |y - b| + |b|, se |x - a| < 1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos demonstrar que, para quaisquer números reais e , a desigualdade é válida, desde que . Vamos usar propriedades de valores absolutos e manipulação algébrica para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão . Podemos adicionar e subtrair dentro do valor absoluto para facilitar a manipulação:
Isso nos permite separar a expressão em duas partes.

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade do triângulo para valores absolutos, que diz que . Assim, temos:
Simplificando cada termo, obtemos:
e

Passo 4

Substituindo essas simplificações na desigualdade anterior, temos:
Sabemos que pelo enunciado. Também podemos notar que aplicando novamente a propriedade do tri��ngulo.

Passo 5

Substituindo na desigualdade, obtemos:
Como , podemos substituir na expressão:

Passo 6

Agora, agrupamos os termos que contêm :
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que sempre que .

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