Dados a, b in R, a != 0, assinale as proposições verdadeiras:
f) ∀x, a x > b ⇔
(a>0 e x>b/a) ou (a<0 e x<b/a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois números reais e com e pede para verificar se a proposição f) é verdadeira. O conteúdo aqui envolve desigualdades e como elas se comportam quando multiplicamos ou dividimos por números positivos ou negativos. Para resolver, vamos analisar os casos em que é positivo e quando é negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando . Quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade não muda. Ou seja, se e temos , podemos dividir ambos os lados por sem inverter a desigualdade:
Então, quando e , a desigualdade é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso em que . Quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, a direção da desigualdade inverte. Portanto, se e temos , ao dividir ambos os lados por , a desigualdade muda para:
Dessa forma, quando e , a desigualdade também é verdadeira.

Resposta

A proposição f) é verdadeira.

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