Determine o valor-verdade das seguintes proposições
a) , tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para determinar se a proposição , tal que é verdadeira ou falsa. Aqui, estamos lidando com inequações quadráticas e quantificadores existenciais. Para resolver, vamos precisar entender como resolver desigualdades envolvendo funções do segundo grau e verificar se existe algum valor real de que satisfaz a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . Essa é uma inequação quadrática, onde a expressão do lado esquerdo é um polinômio de segundo grau. Para resolver, precisamos encontrar os valores de que tornam essa expressão negativa.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da equação . As raízes são os valores de onde a função cruza o eixo . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Calculando as raízes:
Então, as raízes são:

Passo 6

Agora, sabemos que uma parábola com (neste caso, ) abre para cima. Isso significa que a expressão será negativa entre as raízes e .

Passo 7

Portanto, existem valores de no intervalo que satisfazem .

Resposta

A proposição é verdadeira.

Exercícios relacionados

Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
c)
Dadas duas proposições simples e , considere as proposições abaixo e reescreva cada uma delas usando somente os conectivos indicados:
c) , usando
Dados , assinale as proposições verdadeiras:
a)
Dados , assinale as proposições verdadeiras:
f)