Determine o valor-verdade das seguintes proposições
a) existe x em R, tal que 2 x^2 - 5 x - 1 < 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para determinar se a proposição existe x em R, tal que é verdadeira ou falsa. Aqui, estamos lidando com inequações quadráticas e quantificadores existenciais. Para resolver, vamos precisar entender como resolver desigualdades envolvendo funções do segundo grau e verificar se existe algum valor real de que satisfaz a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . Essa é uma inequação quadrática, onde a expressão do lado esquerdo é um polinômio de segundo grau. Para resolver, precisamos encontrar os valores de que tornam essa expressão negativa.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da equação . As raízes são os valores de onde a função cruza o eixo . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Calculando as raízes:
Então, as raízes são:

Passo 6

Agora, sabemos que uma parábola com (neste caso, ) abre para cima. Isso significa que a expressão será negativa entre as raízes e .

Passo 7

Portanto, existem valores de no intervalo que satisfazem .

Resposta

A proposição é verdadeira.

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