Determine o valor-verdade das seguintes proposições
a)
, tal que
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para determinar se a proposição
, tal que
é verdadeira ou falsa. Aqui, estamos lidando com inequações quadráticas e quantificadores existenciais. Para resolver, vamos precisar entender como resolver desigualdades envolvendo funções do segundo grau e verificar se existe algum valor real de
que satisfaz a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a inequação
. Essa é uma inequação quadrática, onde a expressão do lado esquerdo é um polinômio de segundo grau. Para resolver, precisamos encontrar os valores de
que tornam essa expressão negativa.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da equação
. As raízes são os valores de
onde a função cruza o eixo
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Calculando as raízes:
Então, as raízes são:
Passo 6
Agora, sabemos que uma parábola com
(neste caso,
) abre para cima. Isso significa que a expressão
será negativa entre as raízes
e
.
Passo 7
Portanto, existem valores de
no intervalo
que satisfazem
.
Resposta
A proposição é verdadeira.
Exercícios relacionados
Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
c)
c)
Dadas duas proposições simples
e
, considere as proposições abaixo e reescreva cada uma delas usando somente os conectivos indicados:
c) , usando
c)
Dados
, assinale as proposições verdadeiras:
a)
a)
Dados
, assinale as proposições verdadeiras:
f)
f)