Dados a, b in R, a != 0, assinale as proposições verdadeiras:
a) ∀ x, x > b/a ⇒ a x > b

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem dois números reais, e , com . A proposição que precisamos analisar é:
a)
Vamos usar conceitos da álgebra, especificamente sobre desigualdades e multiplicação por números positivos e negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a proposição está dizendo. Para todo maior que , então é maior que .

Passo 3

Vamos analisar isso considerando o sinal de , já que isso afeta a direção da desigualdade quando multiplicamos ambos os lados por .
Caso 1:
Se multiplicarmos ambos os lados da desigualdade por (que é positivo), a direção da desigualdade se mantém:
Portanto, para , a proposição é verdadeira.
Caso 2:
Agora, se for negativo, ao multiplicar ambos os lados da desigualdade por , a direção da desigualdade inverte:
Nesse caso, a proposição não é verdadeira quando .

Passo 4

Resumindo:
  • Se , a proposição é verdadeira.
  • Se , a proposição é falsa.

Resposta

A proposição é verdadeira somente quando é positivo, ou seja, para .

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