Dados
, verifique que
. Utilize esse resultado para provar que a função cosseno é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar uma identidade trigonométrica e usar esse resultado para provar que a função cosseno é contínua. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de produto para cosseno e entender o conceito de continuidade de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a identidade
. Para isso, vamos usar uma fórmula trigonométrica conhecida que relaciona produtos de senos a somas ou diferenças de cossenos.
Passo 3
A fórmula que vamos usar é:
Essa é uma identidade trigonométrica que expressa o produto de dois senos em termos de cossenos de soma e diferença dos ângulos.
Passo 4
Vamos demonstrar essa identidade. Sabemos que:
e
Passo 5
Subtraindo essas duas equações, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
Então, verificamos que a identidade está correta.
Passo 7
Agora, vamos usar essa identidade para provar que a função cosseno é contínua. Lembrando que uma função é contínua se o limite quando x se aproxima de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 8
Consideremos o limite:
Queremos mostrar que isso é igual a
.
Passo 9
Usando a identidade que verificamos, com
e
, temos:
Passo 10
À medida que
se aproxima de 0, sabemos que
(pois o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo em radianos). Portanto, o lado esquerdo da equação tende a 0.
Passo 11
Isso implica que:
Então,
Passo 12
Portanto, mostramos que:
Isso significa que a função cosseno é contínua em qualquer ponto
.
Resposta
Concluímos que
e, usando essa identidade, provamos que a função cosseno é contínua.
Exercícios relacionados
Verifique se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Verifique quais das equações diferenciais a seguir são lineares ou são equações de Bernoulli, resolvendo aquelas que se enquadrarem nestes casos.
A)
A)
Verifique se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Verifique quais das equações diferenciais a seguir são lineares ou são equações de Bernoulli, resolvendo aquelas que se enquadrarem nestes casos.
B)
B)