Dados , verifique que . Utilize esse resultado para provar que a função cosseno é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar uma identidade trigonométrica e usar esse resultado para provar que a função cosseno é contínua. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de produto para cosseno e entender o conceito de continuidade de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a identidade . Para isso, vamos usar uma fórmula trigonométrica conhecida que relaciona produtos de senos a somas ou diferenças de cossenos.

Passo 3

A fórmula que vamos usar é:
Essa é uma identidade trigonométrica que expressa o produto de dois senos em termos de cossenos de soma e diferença dos ângulos.

Passo 4

Vamos demonstrar essa identidade. Sabemos que:
e

Passo 5

Subtraindo essas duas equações, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
Então, verificamos que a identidade está correta.

Passo 7

Agora, vamos usar essa identidade para provar que a função cosseno é contínua. Lembrando que uma função é contínua se o limite quando x se aproxima de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 8

Consideremos o limite:
Queremos mostrar que isso é igual a .

Passo 9

Usando a identidade que verificamos, com e , temos:

Passo 10

À medida que se aproxima de 0, sabemos que (pois o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo em radianos). Portanto, o lado esquerdo da equação tende a 0.

Passo 11

Isso implica que:
Então,

Passo 12

Portanto, mostramos que:
Isso significa que a função cosseno é contínua em qualquer ponto .

Resposta

Concluímos que e, usando essa identidade, provamos que a função cosseno é contínua.

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