Verifique quais das equações diferenciais a seguir são lineares ou são equações de Bernoulli, resolvendo aquelas que se enquadrarem nestes casos.
A)
A)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a equação diferencial
é linear ou do tipo Bernoulli. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e, se for o caso, aplicar o método adequado para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é linear. Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que:
Então, sim, a equação é linear de primeira ordem.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação linear, vamos usar o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto do fator integrante e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Dados
, verifique que
. Utilize esse resultado para provar que a função cosseno é contínua.