Verifique se cada função f: R_+* -> R possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: f(x) = log2(x^2) - log(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida para . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função tem alguma raiz, ou seja, algum valor de que faça . Para isso, vamos usar umas propriedades de logaritmos e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que uma das propriedades dos logaritmos é que . Então, aplicando isso:
Agora, nossa função fica:

Passo 3

Percebeu que temos logaritmos com bases diferentes aqui? Temos um log de base 2 e outro log que, por padrão, é de base 10. Para facilitar a resolução, vamos converter todos os logaritmos para a mesma base. Vamos usar a fórmula de mudança de base:
Vamos converter (base 10) para base 2:

Passo 4

Substituindo essa conversão na função, temos:
Agora, podemos fatorar da expressão:

Passo 5

Para encontrar as raízes da função, igualamos a zero:
Isso significa que ou ou .

Passo 6

Vamos resolver :

Passo 7

Agora, vamos resolver :
Isso significaria que , o que não é verdadeiro porque e não 10.

Resposta

A função possui uma única raiz em .

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