Verifique quais das equações diferenciais a seguir são lineares ou são equações de Bernoulli, resolvendo aquelas que se enquadrarem nestes casos.
B)
B)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se uma equação diferencial é linear ou do tipo Bernoulli e, se for o caso, resolver. A equação que temos é:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra ver se ela é linear. Uma equação diferencial linear tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que ela se encaixa nessa forma, onde
e
. Então, sim, é uma equação diferencial linear.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação linear. Para isso, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 6
Multiplicando tudo por
para isolar
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabendo que
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Dados
, verifique que
. Utilize esse resultado para provar que a função cosseno é contínua.
Verifique se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Nos exercícios 35-38, determine os valores minimo e máximo absolutos da função e informe onde ela os assume.