Verifique quais das equações diferenciais a seguir são lineares ou são equações de Bernoulli, resolvendo aquelas que se enquadrarem nestes casos.
B) d p/d t = t^2 + 3 t - 2 + p/t, com p(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se uma equação diferencial é linear ou do tipo Bernoulli e, se for o caso, resolver. A equação que temos é:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra ver se ela é linear. Uma equação diferencial linear tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que ela se encaixa nessa forma, onde e . Então, sim, é uma equação diferencial linear.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação linear. Para isso, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:

Passo 6

Multiplicando tudo por para isolar :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabendo que :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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