Dados A(1,5) e B(3,-1), obtenha o ponto em que a reta A B intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem dois pontos e . O desafio é descobrir onde a reta que liga esses dois pontos ( ) cruza a bissetriz dos quadrantes ímpares. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a equação de uma reta e entender o que é uma bissetriz de quadrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação da reta m = y2 - y1x2 - x1 . Para isso, precisamos do coeficiente angular ( m = -1 - 53 - 1 = -62 = -3 ) da reta, que mostra a inclinação dela. A fórmula para calcular y - y1 = m(x - x1) é:
y - 5 = -3(x - 1) y - 5 = -3x + 3 y = -3x + 8
Substituindo os valores dos pontos e :
Agora que temos , usamos a fórmula da equação da reta:
Usando o ponto :
Então, a equação da reta é .

Passo 3

Agora, vamos entender a bissetriz dos quadrantes ímpares. Os quadrantes ímpares são o I e o III. A bissetriz é uma reta que divide o ângulo de cada quadrante ao meio. Para o quadrante I ( ), a bissetriz é a linha . Para o quadrante III ( ), a bissetriz também é porque mantém a relação proporcional entre e .
Então, a equação da bissetriz dos quadrantes ímpares é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar onde a reta y = -3x + 8 y = x cruza a bissetriz x = -3x + 8 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Como é igual em ambas, podemos igualar as expressões:

Passo 5

Vamos resolver para x + 3x = 8 4x = 8 x = 2 :
y = 2
Agora que temos , substituímos na equação :

Resposta

O ponto onde a reta intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares é .

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