Determine o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A(0,1) e B(-2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um ponto que está na bissetriz dos quadrantes pares e que está igualmente distante dos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos e a equação da bissetriz dos quadrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz dos quadrantes pares. Os quadrantes pares são o segundo e o quarto quadrante. A bissetriz entre eles é a linha que divide esses quadrantes ao meio. Nesse caso, a bissetriz é a reta . Isso porque essa reta passa pelo centro e divide igualmente os quadrantes II e IV.

Passo 3

Agora, queremos encontrar um ponto que está nessa reta . Isso significa que as coordenadas de satisfazem essa equação, ou seja, . Vamos usar isso para expressar em termos de na nossa solução.

Passo 4

Sabemos que Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 está igualmente distante de raiz(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = raiz(x + 2)^2 + (y - 3)^2 e . Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
â
Como as distâncias são iguais, podemos igualar as duas expressões:

Passo 5

Agora, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x)^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2

Passo 6

Expandindo os quadrados:
x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9

Passo 7

Agora, vamos simplificar a equação. Subtraindo -2y + 1 = 4x + 4 - 6y + 9 e -2y + 1 = 4x - 6y + 13 de ambos os lados:
Simplificando mais:

Passo 8

Vamos isolar os termos com -2y + 6y = 4x + 13 - 1 de um lado e os termos com 4y = 4x + 12 do outro:
y = x + 3
Dividindo tudo por 4:

Passo 9

Lembrando que y = -x está na bissetriz y = x + 3 e y = -x , temos:
x + 3 = -x
Agora, temos duas equações:
Vamos igualar as duas expressões para :

Passo 10

Resolvendо para x + x = -3 :
2x = -3
x = -32

Passo 11

Agora, substituindo y = -(-32) = 32 na equação :

Resposta

O ponto é .

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