Determine a equação da esfera de centro no ponto C=(-3,4,1) que passa pelo ponto (0,1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem como centro o ponto e que passa pelo ponto . Pra isso, vamos usar o conteúdo de geometria espacial, especificamente a fórmula da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da esfera. Se a esfera tem centro no ponto (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 e raio , a equação dela é:
Aqui, é o centro da esfera e é o raio.

Passo 3

No nosso caso, o centro (x - (-3))^2 + (y - 4)^2 + (z - 1)^2 = r^2 da esfera é o ponto (x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 1)^2 = r^2 . Então, podemos substituir , e na fórmula:
Simplificando os sinais:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de , que é o raio da esfera. Como a esfera passa pelo ponto , a distância entre esse ponto e o centro será igual ao raio .

Passo 5

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Aqui, é a distância, que será o nosso , e os pontos são e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
r = raiz(0 - (-3))^2 + (1 - 4)^2 + (-2 - 1)^2
Simplificando:
r = raiz(3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27
r = 3raiz3

Passo 7

Agora que temos o valor de (x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 1)^2 = (3raiz3)^2 , podemos substituir de volta na equação da esfera:
(3raiz3)^2 = 9 times 3 = 27
Calculando o lado direito:

Resposta

A equação da esfera é:
(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 1)^2 = 27

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