Mostre que o conjunto
não intersecta o terceiro quadrante do plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto chamado
. O exercício pede pra mostrar que esse conjunto não toca o terceiro quadrante do plano cartesiano. Vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o terceiro quadrante. No plano cartesiano, o terceiro quadrante é onde tanto
quanto
são negativos. Ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação que define o conjunto
:
. Nosso objetivo é ver se existe algum ponto
que satisfaz essa equação com
e
.
Passo 4
Para isso, vamos supor que
e
. Vamos ver o que acontece com
e
nessas condições.
Quando
,
também é negativo, porque elevar um número negativo a uma potência ímpar mantém o sinal negativo. O mesmo vale para
.
Passo 5
Então, se
e
, temos que
e
. Somando esses dois valores negativos,
, o resultado ser�� negativo.
Passo 6
Mas, pela equação
, a soma dos dois cubos precisa ser igual a 1, que é um número positivo. Isso gera um conflito, porque estamos supondo que a soma é negativa.
Passo 7
Como chegamos a uma contradição (a soma dos cubos seria negativa, mas precisa ser positiva), isso significa que nossa suposição inicial está errada. Ou seja, não existe nenhum ponto
com
e
que satisfaça
.
Resposta
Portanto, o conjunto
não intersecta o terceiro quadrante do plano cartesiano.
Exercícios relacionados
Determine o ponto
, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de
e
.
Determine os pontos que dividem
em quatro partes iguais quando
e
.
Dados
e
, obtenha o ponto em que a reta
intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares.
Determine a equação da esfera de centro no ponto
que passa pelo ponto
.