Mostre que o conjunto A=P in R^2 mid x^3+y^3=1 não intersecta o terceiro quadrante do plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto chamado . O exercício pede pra mostrar que esse conjunto não toca o terceiro quadrante do plano cartesiano. Vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o terceiro quadrante. No plano cartesiano, o terceiro quadrante é onde tanto quanto são negativos. Ou seja, e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação que define o conjunto : . Nosso objetivo é ver se existe algum ponto que satisfaz essa equação com e .

Passo 4

Para isso, vamos supor que e . Vamos ver o que acontece com e nessas condições.
Quando , também é negativo, porque elevar um número negativo a uma potência ímpar mantém o sinal negativo. O mesmo vale para .

Passo 5

Então, se e , temos que e . Somando esses dois valores negativos, , o resultado ser�� negativo.

Passo 6

Mas, pela equação , a soma dos dois cubos precisa ser igual a 1, que é um número positivo. Isso gera um conflito, porque estamos supondo que a soma é negativa.

Passo 7

Como chegamos a uma contradição (a soma dos cubos seria negativa, mas precisa ser positiva), isso significa que nossa suposição inicial está errada. Ou seja, não existe nenhum ponto com e que satisfaça .

Resposta

Portanto, o conjunto não intersecta o terceiro quadrante do plano cartesiano.

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