Dados
, não vazios e limitados, seja
Prove que
é limitado.
Passo 1
Então, a gente tem dois conjuntos,
e
, que estão dentro dos números reais (
). Ambos os conjuntos não são vazios e são limitados, ou seja, eles não se estendem para o infinito. O exercício pede para a gente mostrar que a soma desses dois conjuntos, que chamamos de
, também é limitada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites superiores e inferiores dos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, como
e
são limitados, isso significa que cada um deles tem um maior valor e um menor valor. Vamos chamar o maior número em
de
e o menor de
. Da mesma forma, o maior número em
será
e o menor será
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no conjunto
. Cada elemento desse conjunto é a soma de um número de
com um número de
. Então, o menor valor que
pode ter é quando
e
são os menores de seus respectivos conjuntos. Ou seja, o menor elemento de
será
.
Passo 4
Da mesma forma, o maior valor que
pode ter ocorre quando
e
são os maiores de seus conjuntos. Então, o maior elemento de
será
.
Passo 5
Como todo elemento de
está entre
e
, isso quer dizer que
também é limitado. Não tem nenhum elemento de
que seja menor que
ou maior que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é limitado, já que todos os seus elementos estão entre
e
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
onde
é alternante. Mostre que ela converge para zero.
Seja
: Determine
e
para que
seja conservativo.
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Verifique se a sequência
onde
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