Dados A, B ⊆ R, não vazios e limitados, seja
A + B = {x + y ; x em A e y em B}
Prove que A + B é limitado.

Passo 1

Então, a gente tem dois conjuntos, e , que estão dentro dos números reais ( ). Ambos os conjuntos não são vazios e são limitados, ou seja, eles não se estendem para o infinito. O exercício pede para a gente mostrar que a soma desses dois conjuntos, que chamamos de , também é limitada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites superiores e inferiores dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, como e são limitados, isso significa que cada um deles tem um maior valor e um menor valor. Vamos chamar o maior número em de e o menor de . Da mesma forma, o maior número em será e o menor será .

Passo 3

Agora, vamos pensar no conjunto . Cada elemento desse conjunto é a soma de um número de com um número de . Então, o menor valor que pode ter é quando e são os menores de seus respectivos conjuntos. Ou seja, o menor elemento de será .

Passo 4

Da mesma forma, o maior valor que pode ter ocorre quando e são os maiores de seus conjuntos. Então, o maior elemento de será .

Passo 5

Como todo elemento de está entre e , isso quer dizer que também é limitado. Não tem nenhum elemento de que seja menor que ou maior que .

Resposta

Portanto, mostramos que é limitado, já que todos os seus elementos estão entre e .

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