Determine se a sequência onde é alternante. Mostre que ela converge para zero.

Passo 1

Então, a gente tem que analisar a sequência . O assunto aqui é sobre sequências alternadas e convergência. Vamos precisar entender o que caracteriza uma sequência alternante e verificar se ela converge para um número específico.

Passo 2

Primeiro, uma sequência alternante é aquela que muda de sinal a cada termo. Por exemplo, ela passa de positivo para negativo ou vice-versa conforme aumenta. A expressão é responsável por essa mudança de sinal, já que elevado a uma potência par é positivo e a uma potência ímpar é negativo.

Passo 3

Vamos verificar se é alternante. Observando a fórmula:
O termo alterna os sinais e é sempre positivo. Então, para cada inteiro positivo, a sequência alterna entre valores positivos e negativos. Portanto, é uma sequência alternante.

Passo 4

Agora, para mostrar que a sequência converge para zero, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a zero conforme aumenta. Mesmo com o fator alternante , que apenas muda o sinal, o valor absoluto da sequência está se aproximando de zero.

Resposta

A sequência é alternante e converge para zero.

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