Determine se a sequência
onde
é alternante. Mostre que ela converge para zero.
Passo 1
Então, a gente tem que analisar a sequência
. O assunto aqui é sobre sequências alternadas e convergência. Vamos precisar entender o que caracteriza uma sequência alternante e verificar se ela converge para um número específico.
Passo 2
Primeiro, uma sequência alternante é aquela que muda de sinal a cada termo. Por exemplo, ela passa de positivo para negativo ou vice-versa conforme
aumenta. A expressão
é responsável por essa mudança de sinal, já que
elevado a uma potência par é positivo e a uma potência ímpar é negativo.
Passo 3
Vamos verificar se
é alternante. Observando a fórmula:
O termo
alterna os sinais e
é sempre positivo. Então, para cada
inteiro positivo, a sequência alterna entre valores positivos e negativos. Portanto,
é uma sequência alternante.
Passo 4
Agora, para mostrar que a sequência converge para zero, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a zero conforme
aumenta. Mesmo com o fator alternante
, que apenas muda o sinal, o valor absoluto da sequência está se aproximando de zero.
Resposta
A sequência
é alternante e converge para zero.
Exercícios relacionados
Seja
: Determine
e
para que
seja conservativo.
Determine a area das superfícies
.
Dados
, não vazios e limitados, seja
Prove que
é limitado.
Mostre que todo numero real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais.