Verifique se a sequência
onde
é monotônica e encontre o seu limite.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na sequência
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência é monotônica, ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo, e também encontrar o limite dela quando
fica muito grande. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
para facilitar nossos cálculos. Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Esse passo é útil porque, quando
cresce, os termos
ficam bem pequenos, o que simplifica a análise.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. Observando a expressão simplificada:
Como
cresce,
se aproxima de zero. Substituindo isso na expressão:
Portanto, o limite da sequência é 1.
Passo 4
Para verificar se a sequência é monotônica, ou seja, se é sempre crescente ou sempre decrescente, vamos analisar os termos
e
.
Vamos considerar:
Agora, para ver se a sequência é crescente, precisamos verificar se
. Subtraindo
de
e simplificando, podemos analisar o sinal dessa diferença. Se a diferença for positiva para todo
, a sequência é crescente.
Após simplificar e analisar, percebemos que conforme
aumenta, o numerador de
permanece positivo, indicando que a sequência é sempre crescente.
Resposta
A sequência
é crescente e seu limite é 1.
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Mostre que todo numero real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais.
Dados
, não vazios e limitados, seja
Prove que
é limitado.
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(a)
(a)
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