Verifique se a sequência onde é monotônica e encontre o seu limite.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na sequência . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência é monotônica, ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo, e também encontrar o limite dela quando fica muito grande. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de para facilitar nossos cálculos. Podemos dividir o numerador e o denominador por :
Esse passo é útil porque, quando cresce, os termos ficam bem pequenos, o que simplifica a análise.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito. Observando a expressão simplificada:
Como cresce, se aproxima de zero. Substituindo isso na expressão:
Portanto, o limite da sequência é 1.

Passo 4

Para verificar se a sequência é monotônica, ou seja, se é sempre crescente ou sempre decrescente, vamos analisar os termos e .
Vamos considerar:
Agora, para ver se a sequência é crescente, precisamos verificar se . Subtraindo de e simplificando, podemos analisar o sinal dessa diferença. Se a diferença for positiva para todo , a sequência é crescente.
Após simplificar e analisar, percebemos que conforme aumenta, o numerador de permanece positivo, indicando que a sequência é sempre crescente.

Resposta

A sequência é crescente e seu limite é 1.

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