Mostre que todo numero real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O desafio é mostrar que todo número real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais. Isso está ligado ao estudo dos números reais e racionais, mais especificamente à ideia de densidade dos racionais nos reais. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma sequência de números racionais que se aproxima cada vez mais do número real que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais e reais. Números racionais são aqueles que podem ser escritos como fração, ou seja, na forma , onde e são inteiros e . Já os números reais incluem todos os racionais e também os irracionais, que não podem ser expressos como frações exatas, como ou .
Nossa missão é mostrar que, independente do número real que escolhermos (seja racional ou irracional), sempre existe uma sequência de números racionais que se aproxima cada vez mais desse número real.

Passo 3

Vamos usar a ideia de sequências convergentes. Uma sequência de números converge para um número real se, à medida que cresce, os ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para todo , existe um número natural tal que para todo , a distância entre e é menor que .

Passo 4

Agora, vamos construir essa sequência de racionais que converge para qualquer número real . Uma maneira simples de fazer isso é usar as aproximações decimais de .
Imagine que tem uma representação decimal infinita. Podemos criar uma sequência onde cada termo é a aproximação de com casas decimais. Por exemplo, se , então:
  • E assim por diante.
Cada é racional porque é uma fração finita.

Passo 5

Precisamos verificar se essa sequência realmente converges para . Para isso, tomemos qualquer . Como tem uma expansão decimal infinita, podemos escolher suficientemente grande de modo que a diferença entre e seja menor que .
Por exemplo, se , basta escolher (três casas decimais) para que . Quanto menor for , mais casas decimais precisaremos, mas sempre conseguimos encontrar um que satisfaça a condição.

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer número real , podemos construir uma sequência de números racionais que se aproxima cada vez mais de , ou seja, . Portanto, todo número real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais.

Exercícios relacionados

Dados , não vazios e limitados, seja
Prove que é limitado.
Determine se a sequência onde é alternante. Mostre que ela converge para zero.
Verifique se a sequência onde é monotônica e encontre o seu limite.
Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)