Seja
: Determine
e
para que
seja conservativo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um campo vetorial dado por
e queremos encontrar os valores de
e
que fazem com que
seja conservativo.
Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar. Para verificar isso, precisamos que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e condições de igualdade das derivadas parciais.
Passo 2
Vamos denotar o campo vetorial como
, onde:
Para que
seja conservativo, deve satisfazer as seguintes condições de igualdade das derivadas parciais:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeira condição:
Portanto,
, o que está ok.
Passo 4
Segunda condição:
Para que sejam iguais:
Passo 5
Terceira condição:
Para que sejam iguais:
Resposta
Os valores que tornam
um campo vetorial conservativo são
e
.