Seja F = (z^2, z sen y, 2 z + a x z + b cos y): Determine a e b para que F seja conservativo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um campo vetorial dado por e queremos encontrar os valores de e que fazem com que seja conservativo.
Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar. Para verificar isso, precisamos que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e condições de igualdade das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos denotar o campo vetorial como , onde:
Para que seja conservativo, deve satisfazer as seguintes condições de igualdade das derivadas parciais:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeira condição:
Portanto, , o que está ok.

Passo 4

Segunda condição:
Para que sejam iguais:

Passo 5

Terceira condição:
Para que sejam iguais:

Resposta

Os valores que tornam um campo vetorial conservativo são e .

Exercícios relacionados