Determinar
de modo que o triângulo de vértices
e
seja retângulo em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices nos pontos
,
e
. A tarefa é encontrar o valor de
que faz esse triângulo ser retângulo no vértice
. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de distâncias entre pontos no plano e o conceito de triângulo retângulo.
Passo 2
Vamos calcular as distâncias dos lados que formam o ângulo em
. Primeiro, a distância entre
e
, e entre
e
. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Então, para
:
Passo 3
Agora, calculamos a distância entre
e
:
Passo 4
Para que o triângulo seja retângulo em
, o Teorema de Pitágoras deve ser válido para os lados que se encontram nesse ângulo. Ou seja:
Primeiro, vamos encontrar
.
Passo 5
Calculamos a distância entre
e
:
Então,
.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificamos a equação:
Expandindo os quadrados:
Passo 8
Subtraímos
de ambos os lados:
Adicionamos
em ambos os lados:
Subtraímos 35:
Dividimos por 6:
Resposta
O valor de
que faz o triângulo ser retângulo em
é
.