Determinar x de modo que o triângulo de vértices A=(4,5), B=(1,1) e C=(x, 4) seja retângulo em B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices nos pontos , e . A tarefa é encontrar o valor de que faz esse triângulo ser retângulo no vértice . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de distâncias entre pontos no plano e o conceito de triângulo retângulo.

Passo 2

Vamos calcular as distâncias dos lados que formam o ângulo em d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 . Primeiro, a distância entre BA = raiz(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 e , e entre e . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Então, para :

Passo 3

Agora, calculamos a distância entre BC = raiz(x - 1)^2 + (4 - 1)^2 = raiz(x - 1)^2 + 3^2 = raiz(x - 1)^2 + 9 e :

Passo 4

Para que o triângulo seja retângulo em BA^2 + BC^2 = AC^2 , o Teorema de Pitágoras deve ser válido para os lados que se encontram nesse ângulo. Ou seja:
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 5

Calculamos a distância entre AC = raiz(x - 4)^2 + (4 - 5)^2 = raiz(x - 4)^2 + (-1)^2 = raiz(x - 4)^2 + 1 e :
Então, .

Passo 6

Aplicando o Teorema de Pitágoras:
BA^2 + BC^2 = AC^2
Substituindo os valores:
5^2 + [(x - 1)^2 + 9] = (x - 4)^2 + 1
25 + (x - 1)^2 + 9 = (x - 4)^2 + 1

Passo 7

Simplificamos a equação:
34 + (x - 1)^2 = (x - 4)^2 + 1
Expandindo os quadrados:
34 + x^2 - 2x + 1 = x^2 - 8x + 16 + 1
35 + x^2 - 2x = x^2 - 8x + 17

Passo 8

Subtraímos 35 - 2x = -8x + 17 de ambos os lados:
35 + 6x = 17
Adicionamos 6x = -18 em ambos os lados:
x = -3
Subtraímos 35:
Dividimos por 6:

Resposta

O valor de que faz o triângulo ser retângulo em é .

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Dados A=(-2,4) e B=(3,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determinar os outros dois vértices.
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