Determinar de modo que o triângulo de vértices e seja retângulo em .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices nos pontos , e . A tarefa é encontrar o valor de que faz esse triângulo ser retângulo no vértice . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de distâncias entre pontos no plano e o conceito de triângulo retângulo.
Passo 2
Vamos calcular as distâncias dos lados que formam o ângulo em . Primeiro, a distância entre e , e entre e . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Então, para :
Passo 3
Agora, calculamos a distância entre e :
Passo 4
Para que o triângulo seja retângulo em , o Teorema de Pitágoras deve ser válido para os lados que se encontram nesse ângulo. Ou seja:
Primeiro, vamos encontrar .
Passo 5
Calculamos a distância entre e :
Então, .
Passo 6
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificamos a equação:
Expandindo os quadrados:
Passo 8
Subtraímos de ambos os lados:
Adicionamos em ambos os lados:
Subtraímos 35:
Dividimos por 6:
Resposta
O valor de que faz o triângulo ser retângulo em é .