Demonstre que dados dois campos escalares f e g, C^2 em um conjunto B subset R^2 aberto e conexo, então para toda curva sim subset B fechada, simples e C^1 por partes, vale
ointgamma f nabla g cdot d r=-ointgamma g nabla f cdot d r
Sugestão: Use o teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que envolve cálculo vetorial, especificamente usando o Teorema de Green. O problema pede para mostrar que, dado dois campos escalares e de classe em um conjunto no plano, para qualquer curva fechada simples e suave, a integral de linha de ao redor de é igual ao negativo da integral de ao redor da mesma curva. Basicamente, vamos usar o Teorema de Green para provar essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Mais especificamente, se temos uma curva fechada ointgamma F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA no plano e é um campo vetorial com e funções diferenciáveis, então:
onde é a região delimitada por .

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Green à integral F = f nabla g = ( f partial gpartial x, f partial gpartial y ) . Primeiro, precisamos identificar as componentes do campo vetorial ointgamma f nabla g cdot dr = integral duplaD ( partialpartial x(f partial gpartial y) - partialpartial y(f partial gpartial x) ) dA .
Sabemos que , então:
Agora, segundo o Teorema de Green:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais na expressão acima:
partialpartial x(f partial gpartial y) = partial fpartial x partial gpartial y + f partial^2 gpartial x partial y
partialpartial y(f partial gpartial x) = partial fpartial y partial gpartial x + f partial^2 gpartial y partial x
Como as derivadas mistas são iguais ( partialpartial x(f partial gpartial y) - partialpartial y(f partial gpartial x) = partial fpartial x partial gpartial y - partial fpartial y partial gpartial x ), ao subtrairmos as duas expressões, os termos com as segundas derivadas se cancelam:

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para a integral G = g nabla f = ( g partial fpartial x, g partial fpartial y ) . Identificamos o campo vetorial -ointgamma g nabla f cdot dr = -integral duplaD ( partialpartial x(g partial fpartial y) - partialpartial y(g partial fpartial x) ) dA :
partialpartial x(g partial fpartial y) = partial gpartial x partial fpartial y + g partial^2 fpartial x partial y
Aplicando o Teorema de Green:
partialpartial y(g partial fpartial x) = partial gpartial y partial fpartial x + g partial^2 fpartial y partial x
Calculando as derivadas parciais:
partialpartial x(g partial fpartial y) - partialpartial y(g partial fpartial x) = partial gpartial x partial fpartial y - partial gpartial y partial fpartial x
Novamente, as derivadas mistas se cancelam, ficando:

Passo 6

Observamos que:
partial fpartial x partial gpartial y - partial fpartial y partial gpartial x = -( partial gpartial x partial fpartial y - partial gpartial y partial fpartial x )
Isso mostra que:
integral duplaD ( partial fpartial x partial gpartial y - partial fpartial y partial gpartial x ) dA = -integral duplaD ( partial gpartial x partial fpartial y - partial gpartial y partial fpartial x ) dA
Portanto:
ointgamma f nabla g cdot dr = -ointgamma g nabla f cdot dr

Resposta

Conseguimos provar que, para quaisquer campos escalares ointgamma f nabla g cdot dr = -ointgamma g nabla f cdot dr e de classe em um conjunto aberto e conexo , e para toda curva fechada, simples e suave , vale:

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