Demonstre que dados dois campos escalares
e
em um conjunto
aberto e conexo, então para toda curva
fechada, simples e
por partes, vale
Sugestão: Use o teorema de Green.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que envolve cálculo vetorial, especificamente usando o Teorema de Green. O problema pede para mostrar que, dado dois campos escalares
e
de classe
em um conjunto
no plano, para qualquer curva fechada
simples e suave, a integral de linha de
ao redor de
é igual ao negativo da integral de
ao redor da mesma curva. Basicamente, vamos usar o Teorema de Green para provar essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Mais especificamente, se temos uma curva fechada
no plano e
é um campo vetorial com
e
funções diferenciáveis, então:
onde
é a região delimitada por
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Green à integral
. Primeiro, precisamos identificar as componentes do campo vetorial
.
Sabemos que
, então:
Agora, segundo o Teorema de Green:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais na expressão acima:
Como as derivadas mistas são iguais (
), ao subtrairmos as duas expressões, os termos com as segundas derivadas se cancelam:
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para a integral
. Identificamos o campo vetorial
:
Aplicando o Teorema de Green:
Calculando as derivadas parciais:
Novamente, as derivadas mistas se cancelam, ficando:
Passo 6
Observamos que:
Isso mostra que:
Portanto:
Resposta
Conseguimos provar que, para quaisquer campos escalares
e
de classe
em um conjunto aberto e conexo
, e para toda curva fechada, simples e suave
, vale:
Exercícios relacionados
Usando o caminho
com
, encontre
Dados: o campo vetorial
e o caminho
, calcule
Determine uma função
(justifique sua escolha) tal que:
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral de