Usando o caminho
com
, encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
usando o caminho
para
entre
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de funções escalares. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho, expressar a função
em termos de
, calcular o elemento de comprimento
, e então integrar tudo isso no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de caminho. A função
nos dá uma curva no espaço tridimensional à medida que
varia de
a
. Isso significa que
,
e
para todo
nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar,
, em termos de
. Substituindo as expressões de
,
e
que obtivemos:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o elemento de comprimento
. Para isso, calculamos a derivada da parametrização
em relação a
:
Agora, calculamos a norma dessa derivada:
Portanto,
.
Passo 5
Agora que temos
e
em termos de
, podemos expressar a integral de linha original como uma integral definida em relação a
:
Passo 6
Vamos calcular a integral
. Uma maneira de resolver isso é usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Dados: o campo vetorial
e o caminho
, calcule
Seja
da forma
com
e
continuas. Mostre que
é conservativo.
Demonstre que dados dois campos escalares
e
em um conjunto
aberto e conexo, então para toda curva
fechada, simples e
por partes, vale
Sugestão: Use o teorema de Green.
Determine uma função
(justifique sua escolha) tal que: