Usando o caminho gamma(t)=(cos (t), sin (t), 1) com t in[0,2 pi), encontre
integralgamma x y z d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha usando o caminho para entre e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de funções escalares. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho, expressar a função em termos de , calcular o elemento de comprimento , e então integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de caminho. A função nos dá uma curva no espaço tridimensional à medida que varia de a . Isso significa que , e para todo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, f(gamma(t)) = cos(t) cdot sin(t) cdot 1 = cos(t) sin(t) , em termos de . Substituindo as expressões de , e que obtivemos:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o elemento de comprimento gamma'(t) = (-sin(t), cos(t), 0) . Para isso, calculamos a derivada da parametrização |gamma'(t)| = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 0^2 = raizsin^2(t) + cos^2(t) = raiz1 = 1 em relação a :
Agora, calculamos a norma dessa derivada:
Portanto, .

Passo 5

Agora que temos integralgamma x y z , ds = integral0^2pi cos(t) sin(t) , dt e em termos de , podemos expressar a integral de linha original como uma integral definida em relação a :

Passo 6

Vamos calcular a integral cos(t) sin(t) = 12 sin(2t) . Uma maneira de resolver isso é usar a identidade trigonométrica:
integral0^2pi 12 sin(2t) , dt = 12 [ -12 cos(2t) ]0^2pi = -14 [ cos(4pi) - cos(0) ]
Então, a integral fica:
-14 (1 - 1) = -14 cdot 0 = 0
Sabemos que , então:

Resposta

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