Estima-se que daqui a
semanas o número de passageiros de uma nova linha de metrô estará aumentando à razão de
passageiros por semana. No momento, 8000 passageiros estão usando a linha. Quantos a estarão usando daqui a 5 semanas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o número de passageiros de uma nova linha de metrô que está crescendo. A taxa de aumento de passageiros por semana é dada por
, onde
é o número de semanas. No começo, já temos 8000 passageiros usando a linha. Nosso objetivo é descobrir quantos passageiros vão estar usando a linha daqui a 5 semanas. Vamos precisar usar cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a taxa de aumento
representa. Essa é a derivada da função que descreve o número de passageiros em função do tempo, ou seja,
. Para encontrar a função
que nos dá o total de passageiros em qualquer semana
, precisamos integrar essa expressão.
Passo 3
Vamos integrar
:
Vamos fazer a integral termo a termo:
Então, a função
fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a constante de integração
. Sabemos que no início (
), já temos 8000 passageiros. Vamos substituir esses valores na equação:
Então, a função completa é:
Passo 5
Agora, vamos calcular quantos passageiros estarão usando a linha daqui a 5 semanas (
):
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Resposta
Daqui a 5 semanas, estarão usando a linha 11.250 passageiros.