Estima-se que daqui a x semanas o número de passageiros de uma nova linha de metrô estará aumentando à razão de 18 x^2 + 500 passageiros por semana. No momento, 8000 passageiros estão usando a linha. Quantos a estarão usando daqui a 5 semanas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o número de passageiros de uma nova linha de metrô que está crescendo. A taxa de aumento de passageiros por semana é dada por , onde é o número de semanas. No começo, já temos 8000 passageiros usando a linha. Nosso objetivo é descobrir quantos passageiros vão estar usando a linha daqui a 5 semanas. Vamos precisar usar cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a taxa de aumento representa. Essa é a derivada da função que descreve o número de passageiros em função do tempo, ou seja, . Para encontrar a função que nos dá o total de passageiros em qualquer semana , precisamos integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos integrar :
Vamos fazer a integral termo a termo:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a constante de integração . Sabemos que no início ( ), já temos 8000 passageiros. Vamos substituir esses valores na equação:
Então, a função completa é:

Passo 5

Agora, vamos calcular quantos passageiros estarão usando a linha daqui a 5 semanas ( ):
Calculando passo a passo:
Somando tudo:

Resposta

Daqui a 5 semanas, estarão usando a linha 11.250 passageiros.

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