Verificar se o conjunto V é um subespaço vetorial do R^3 V=(x, y, z) / 2 y+z=x Não sendo apresente as propriedades que falham.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto e precisa descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial do . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Espaços Vetoriais e as propriedades que eles precisam satisfazer para ser considerados subespaços. Precisamos verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado por adição e se é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em 2(0) + 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se 2y1 + z1 = x1 e 2y2 + z2 = x2 é fechado por adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em 2(y1 + y2) + (z1 + z2) = 2y1 + 2y2 + z1 + z2 = (2y1 + z1) + (2y2 + z2) = x1 + x2 , a soma deles também deve estar em . Seja e em . Então:
A soma . Vamos ver se esse vetor está em :
Então, , o que satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado por adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se 2y + z = x é fechado por multiplicação por escalar. Isso significa que se a gente multiplicar um vetor em 2(cy) + (cz) = c(2y + z) = cx por qualquer número real, o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Então, o vetor satisfaz a condição , logo está em . Portanto, é fechado por multiplicação por escalar.

Resposta

Como todas as três propriedades foram satisfeitas, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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