Verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do
Não sendo apresente as propriedades que falham.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
e precisa descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial do
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Espaços Vetoriais e as propriedades que eles precisam satisfazer para ser considerados subespaços. Precisamos verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado por adição e se é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado por adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
em
. Então:
A soma
. Vamos ver se esse vetor está em
:
Então,
, o que satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado por adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado por multiplicação por escalar. Isso significa que se a gente multiplicar um vetor em
por qualquer número real, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar. Então:
Multiplicando por
:
Então, o vetor
satisfaz a condição
, logo está em
. Portanto,
é fechado por multiplicação por escalar.
Resposta
Como todas as três propriedades foram satisfeitas, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.