Verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do Não sendo apresente as propriedades que falham.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto e precisa descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial do . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Espaços Vetoriais e as propriedades que eles precisam satisfazer para ser considerados subespaços. Precisamos verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado por adição e se é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado por adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Seja e em . Então:
A soma . Vamos ver se esse vetor está em :
Então, , o que satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado por adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado por multiplicação por escalar. Isso significa que se a gente multiplicar um vetor em por qualquer número real, o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Então, o vetor satisfaz a condição , logo está em . Portanto, é fechado por multiplicação por escalar.

Resposta

Como todas as três propriedades foram satisfeitas, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

O conjunto tais que pode ser representado por:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Dados o conjunto gerador e
b) Escrever o vetor como combinação linear de u,v e w.
Seja um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto de com menos do que 5 vetores é LI. II - Todo subconjunto LI de gera .
III - Nem todo subconjunto LI de com 5 vetores é uma base de .
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
(I) Não sei
Encontre uma transformação linear tal que: ;