Beleza! Temos um espaço vetorial com dimensão 5 e três afirmações sobre subconjuntos de . Vamos analisar cada uma para descobrir quais são verdadeiras.
Passo 2
Afirmação I: “Todo subconjunto de com menos do que 5 vetores é LI.”
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em um espaço de dimensão 5, o máximo de vetores LI é 5. Se tivermos menos de 5 vetores, eles não conseguem “preencher” todo o espaço, então eles são automaticamente LI. Então, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Todo subconjunto LI de gera .”
Gerar significa que a combinação linear dos vetores do subconjunto pode formar qualquer vetor em . Em um espaço de dimensão 5, precisamos de exatamente 5 vetores LI para gerar . Se o subconjunto LI tiver menos de 5 vetores, ele não consegue gerar todo . Portanto, a afirmação II é falsa porque nem todo subconjunto LI gera .
Passo 4
Afirmação III: “Nem todo subconjunto LI de com 5 vetores é uma base de .”
Uma base de é um conjunto de vetores LI que gera . Se temos exatamente 5 vetores LI em um espaço de dimensão 5, eles formam uma base, pois são suficientes para gerar todo o espaço sem redundância. Logo, a afirmação III é falsa porque todo subconjunto LI com 5 vetores em de dimensão 5 é uma base.
Resposta
A opção correta é (E) Apenas I e II são verdadeiras.