Seja um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto de com menos do que 5 vetores é LI. II - Todo subconjunto LI de gera .
III - Nem todo subconjunto LI de com 5 vetores é uma base de .
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
(I) Não sei

Passo 1

Beleza! Temos um espaço vetorial com dimensão 5 e três afirmações sobre subconjuntos de . Vamos analisar cada uma para descobrir quais são verdadeiras.

Passo 2

Afirmação I: “Todo subconjunto de com menos do que 5 vetores é LI.”
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em um espaço de dimensão 5, o máximo de vetores LI é 5. Se tivermos menos de 5 vetores, eles não conseguem “preencher” todo o espaço, então eles são automaticamente LI. Então, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “Todo subconjunto LI de gera .”
Gerar significa que a combinação linear dos vetores do subconjunto pode formar qualquer vetor em . Em um espaço de dimensão 5, precisamos de exatamente 5 vetores LI para gerar . Se o subconjunto LI tiver menos de 5 vetores, ele não consegue gerar todo . Portanto, a afirmação II é falsa porque nem todo subconjunto LI gera .

Passo 4

Afirmação III: “Nem todo subconjunto LI de com 5 vetores é uma base de .”
Uma base de é um conjunto de vetores LI que gera . Se temos exatamente 5 vetores LI em um espaço de dimensão 5, eles formam uma base, pois são suficientes para gerar todo o espaço sem redundância. Logo, a afirmação III é falsa porque todo subconjunto LI com 5 vetores em de dimensão 5 é uma base.

Resposta

A opção correta é (E) Apenas I e II são verdadeiras.

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(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Encontre uma transformação linear tal que: ;
Dados o conjunto gerador e
a) Mostrar que é uma base do