Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto de
com menos do que 5 vetores é LI. II - Todo subconjunto LI de
gera
.
III - Nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base de
.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
(I) Não sei
I - Todo subconjunto de
III - Nem todo subconjunto LI de
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
(I) Não sei
Passo 1
Beleza! Temos um espaço vetorial
com dimensão 5 e três afirmações sobre subconjuntos de
. Vamos analisar cada uma para descobrir quais são verdadeiras.
Passo 2
Afirmação I: “Todo subconjunto de
com menos do que 5 vetores é LI.”
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em um espaço de dimensão 5, o máximo de vetores LI é 5. Se tivermos menos de 5 vetores, eles não conseguem “preencher” todo o espaço, então eles são automaticamente LI. Então, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Todo subconjunto LI de
gera
.”
Gerar
significa que a combinação linear dos vetores do subconjunto pode formar qualquer vetor em
. Em um espaço de dimensão 5, precisamos de exatamente 5 vetores LI para gerar
. Se o subconjunto LI tiver menos de 5 vetores, ele não consegue gerar todo
. Portanto, a afirmação II é falsa porque nem todo subconjunto LI gera
.
Passo 4
Afirmação III: “Nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base de
.”
Uma base de
é um conjunto de vetores LI que gera
. Se temos exatamente 5 vetores LI em um espaço de dimensão 5, eles formam uma base, pois são suficientes para gerar todo o espaço sem redundância. Logo, a afirmação III é falsa porque todo subconjunto LI com 5 vetores em
de dimensão 5 é uma base.
Resposta
A opção correta é (E) Apenas I e II são verdadeiras.