Encontre uma transformação linear T: R^3 R^4 tal que: A Imag(T)=[(1,1,0,1),(0,-1,2,1)];

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como determinar a imagem delas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz de será uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de .

Passo 3

Agora, a imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de . O enunciado nos dá dois vetores que devem gerar essa imagem. Ou seja, as colunas da matriz de devem ser combinações lineares desses dois vetores.

Passo 4

Vamos chamar as colunas da matriz de vi = ai 1101 + bi 0-121 de . Cada uma dessas colunas deve ser uma combinação linear de e . Ou seja:
onde e são escalares.

Passo 5

Para simplificar, podemos escolher que cada coluna seja exatamente um dos vetores dados ou combinações fixas deles. Uma maneira fácil é definir , , e também como uma combinação desses dois. Por exemplo, podemos escolher , que é a soma dos dois vetores dados.

Resposta

Uma transformação linear T = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 1 & 2 que satisfaz as condições é representada pela seguinte matriz:

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