Encontre uma transformação linear tal que: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como determinar a imagem delas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz de será uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de .

Passo 3

Agora, a imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de . O enunciado nos dá dois vetores que devem gerar essa imagem. Ou seja, as colunas da matriz de devem ser combinações lineares desses dois vetores.

Passo 4

Vamos chamar as colunas da matriz de de . Cada uma dessas colunas deve ser uma combinação linear de e . Ou seja:
onde e são escalares.

Passo 5

Para simplificar, podemos escolher que cada coluna seja exatamente um dos vetores dados ou combinações fixas deles. Uma maneira fácil é definir , , e também como uma combinação desses dois. Por exemplo, podemos escolher , que é a soma dos dois vetores dados.

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é representada pela seguinte matriz:

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto de com menos do que 5 vetores é LI. II - Todo subconjunto LI de gera .
III - Nem todo subconjunto LI de com 5 vetores é uma base de .
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
(I) Não sei
Verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do Não sendo apresente as propriedades que falham.
Dados o conjunto gerador e
a) Mostrar que é uma base do
Uma equação paramétrica do plano , onde são parâmetros, é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei