Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de transformações lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como determinar a imagem delas.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz de será uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de .
Passo 3
Agora, a imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz de . O enunciado nos dá dois vetores que devem gerar essa imagem. Ou seja, as colunas da matriz de devem ser combinações lineares desses dois vetores.
Passo 4
Vamos chamar as colunas da matriz de de . Cada uma dessas colunas deve ser uma combinação linear de e . Ou seja:
onde e são escalares.
Passo 5
Para simplificar, podemos escolher que cada coluna seja exatamente um dos vetores dados ou combinações fixas deles. Uma maneira fácil é definir , , e também como uma combinação desses dois. Por exemplo, podemos escolher , que é a soma dos dois vetores dados.
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é representada pela seguinte matriz: