Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(e) 3 u+v-2 w

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de vetores em : onde e onde . O desafio é escrever o vetor como a soma de um vetor que está em e outro que está em . Para isso, vamos precisar entender como decompor esse vetor usando as características de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada conjunto:
  • Conjunto : Aqui, os vetores têm a propriedade que a primeira coordenada é igual à segunda, ou seja, . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é um número real.
  • Conjunto : Neste conjunto, a soma das coordenadas é zero, . Então, qualquer vetor em pode ser expresso como , onde é um número real.

Passo 3

Agora, precisamos escrever 3u + v - 2w = vV + vU como a soma de um vetor de vV = (a, a) e vU = (b, -b) e um vetor de . Vamos chamar esses vetores de (em ) e (em ). Então temos:
Onde:

Passo 4

Somando vV + vU = (a + b, a - b) e (a + b, a - b) = (c, d) , obtemos:
Esse resultado deve ser igual a . Vamos assumir que é um vetor no plano. Então temos:
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a + b = c Rightarrow a = c - b e (c - b) - b = d Rightarrow c - 2b = d :
Primeira equação:
-2b = d - c Rightarrow b = c - d2
Substituindo na segunda equação:
a = c - (c - d2) = 2c - (c - d)2 = c + d2
Resolvendo para :
Agora, substituindo de volta na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Então, agora sabemos que:
vV = (c + d2, c + d2)
vU = (c - d2, -c - d2)
Portanto, vV = (c + d2, c + d2) em V pode ser escrito como a soma de vU = (c - d2, -c - d2) em U e , onde:

Resposta

Assim, o vetor 3u + v - 2w = (c + d2, c + d2) + (c - d2, -c - d2) pode ser escrito como:
Onde e .

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Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
f) y^prime prime-y^prime-6 y & =0 y(0)=2, y^prime(0) & =-1 ( Resp. y=35 e^3 x+75 e^-2 x)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em W=x in R^2 mid 3 x1-5 x2=0.
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Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(f) 3 v+w-2 z
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© x=(8,3), y=(11,9)