Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de vetores em
:
onde
e
onde
. O desafio é escrever o vetor
como a soma de um vetor que está em
e outro que está em
. Para isso, vamos precisar entender como decompor esse vetor usando as características de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada conjunto:
-
Conjunto
: Aqui, os vetores têm a propriedade que a primeira coordenada é igual à segunda, ou seja, . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é um número real. -
Conjunto
: Neste conjunto, a soma das coordenadas é zero, . Então, qualquer vetor em pode ser expresso como , onde é um número real.
Passo 3
Agora, precisamos escrever
como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Vamos chamar esses vetores de
(em
) e
(em
). Então temos:
Onde:
Passo 4
Somando
e
, obtemos:
Esse resultado deve ser igual a
. Vamos assumir que
é um vetor
no plano. Então temos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo para
:
Agora, substituindo
de volta na primeira equação para encontrar
:
Passo 6
Então, agora sabemos que:
Portanto,
pode ser escrito como a soma de
e
, onde:
Resposta
Assim, o vetor
pode ser escrito como:
Onde
e
.
Exercícios relacionados
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
f) Resp.
f)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(a)
(a)
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(f)
(f)
Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
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